定积分 4 应用.pptVIP

* * 南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲 第四节 定积分的应用 二 平面图形的面积 三 立体的体积 四 平面曲线的弧长 一 定积分的元素法 五 旋转曲面的面积 一、定积分的元素法(微元法) 回顾: 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 曲边梯形由连续曲线y=f(x) (f(x)≥0) 、 x轴与两条直线x=a x=b 所围成. 面积表示为定积分的步骤如下: 1）把区间[a,b]分成n个长度为 的小区间，相 应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄 曲边梯形的面积为 y=f(x) （3）求和，得A的近似值 （2）计算 的近似值 （4） 求极限，得A的精确值 提示 y a b x o dA 面积元素 (1) A 是与一个变量x 的变化区间[a,b]有关的量； (2) A 对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区间 [a,b]分成许多部分区间，则A 相应地分成许多部分量， 而A 等于所有部分量之和； (3)部分量 的近似值可表示为 (4) 量A 的元素对区间[a,b]求和取极限，此极限值就是 量A 的值，即 1. 可用定积分解决的问题 2. 利用元素法化为定积分的一般步骤： (1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； (2)设想把区间分成n个小区间，取其中任一小区 间并记为[x,x+dx]，求出相应于这小区间的部分量ΔA 的近似值____微分表达式 (3)以所求量A 的元素f(x)dx为被积表达式，在区间 [a,b]上作定积分，得， 即为所求量A 的积分表达式. 若 在 不都是非负的,则所围面积为: 二 平面图形的面积 直角坐标系情形(1) 二 平面图形的面积 直角坐标系情形(2) 由两条曲线 及直线 所围成的平面图形面积计算公式 二 平面图形的面积 直角坐标系情形(3) c d 例1. 求由曲线 所围成的平面图形的 面积(P-232-例4.1) . 解: 以面积元素在[0,2]上作定积分 –2 。 0 y x 例2. 4 4 –4 解方程组： 得交点：(8, 4)， (2,–2) 问题：选谁为积分变量？ 选y为积分变量 面积元素 y 选择积分变量的原则:积分容易计算; 尽量少分割区域. 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . （P-234例4.4） 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 则曲边梯形面积 练习：求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: O y x