数学归纳法及其应用举例教学课件.pptVIP

《数学归纳法及其应用举例》 我们在学习等差数列时，是这样推导首项为a1，公差为d的等差数列｛ an ｝的通项公式的 a1＝ a1+0d a2＝ a1+d= a1+1d a3＝ a2+d= a1+2d a4＝ a3+d= a1+3d …… 容易验证 a1=1，a2＝1，a3＝1，a4=1，由此得出结论 不完全归纳法与完全归纳法 不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。 例4　用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除（若A＝BC，则A能被B整除） （1）当n=1时， x2-y2＝(x+y)(x-y)， x2-y2能被x+y整除。 （2）假设当n=k(k∈N*)时， x2k-y2k能被x+y整除。那么 X2(k+1)-y2(k+1)＝x2 x2k -y2 y2k ＝ x2 x2k - x2 y2 k + x2 y2 k -y2 y2k ＝x2 ( x2k - y2 k ) + y2 k (x2 - y2k ) 这就是说，当时n=k+1时X2(k+1)-y2(k+1)能被x+y整除。 根据⑴⑵，可知命题对任何n ∈N*都成立 * * 一.由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法，通常叫做归纳法. 举例说明: (1)等差数列通项的推导; 二.数学归纳法: 1.适应范围:某些与正整数有关的数学命题. 2.数学归纳法的解题步骤： (3)下结论:由以上可知对于n取第一个值 后面的所有正整数也都成立. 象这种证明方法叫数学归纳法． 3.数学归纳法的应用： （1）恒等式例1例2例3 （2）不等式 （3）三角方面 （4）整除性例4 （5）几何方面例5 （6）计算、猜想、证明 假设n=k时，等式 成立，就是 那么， 　　=k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。 能否得出对任何非零自然数n，命题都成立？ 同学们可以自己验证n=1，n=2，n=3等时，命题是否成立 数学归纳法证明恒等式时，第二步证明中常用到哪些变形手段？ 　　　　、　　、　　　、　　　　等变形手段。 复习巩固、小结提高 （1）如下证明对吗？ 证明：①当n=1时，左边＝ 　右边＝ 　　等式成立。 ②设n=k时，有 乘法公式 因式分解 添拆项 配方 那么，当n=k+1时，有 即n=k+1时，命题成立。 根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。 既然不对，如何改正？ 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。 （2）分组练习P66　1、2、3 （3）小结：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ① 明确初始值n0并验证真假。（必不可少） ②　 “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 ③　分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 　　命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④　明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 　　方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。 可明确为： 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 　　　归纳假设要用到， 　　　结论写明莫忘掉。 作业布置 　　　　　P68 习题2.1　 3、4题 例题2　用数学归纳法证明 证明： （1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝ 　　　　等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。 例3　用数学归纳法证明　 1）第一步应做什么？此时n0= ，左＝＿　右＝　 2）假设n=k时命题成立，即　 1×4＝4 1 当n=2时，左＝　　　　　　，右＝　　　　　。 2(2＋1)2 当n=k时，等式左边共有　　项， 第(k－1)项是　　　　　 　　。　　　 k 1×4＋2×7 (K－1)×[3(k－1)＋1] 思考？ 3）当n=k+1时，命题的形式是 4）此时，左边增加的项是 5)从左到右如何变形？ 证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。