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歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 微積分[第九版] 相關變化率 3.8 3.8 相關變化率 學習目標 檢查相關變數。 解相關變化率問題。 P.3-67 第三章　微分 相關變數 本節將探討變數隨著時間改變的問題。如果兩個以上變數彼此相關，則它們對時間的變化率也是相關的。 P.3-67 第三章　微分 相關變數 例如，假設 x 和 y 的關係由方程式 y ＝ 2x 所決定，如果兩個變數都隨著時間改變，則它們的變化率也會有關係。 P.3-67 第三章　微分 相關變數 在這個簡單的例子中，因為 y 的值都是 x 的兩倍，所以 y 對時間的變化率也都是 x 對時間變化率的兩倍。 P.3-67 第三章　微分 範例 1　計算兩個相關的變化率 變數 x 和 y 都是 t 的可微函數，其關係為 y ＝ x2 ＋ 3 當 x ＝ 1 時，dx/dt ＝ 2，求 x ＝ 1 時的 dy/dt。 P.3-67 第三章　微分 範例 1　計算兩個相關的變化率 （解） 方程式的兩邊用連鎖律對 t 微方。 當 x ＝ 1 以及 dx/dt ＝ 2，則 P.3-67 第三章　微分 檢查站 1 當 x ＝ 1 時，dx/dt ＝ 3，求若 y ＝ x3 ＋ 2，x ＝ 1 時的 dy/dt。 P.3-67 第三章　微分 解相關變化率的問題 在範例1中，數學模型已給定。 給定方程式：y ＝ x2 ＋ 3 給定變化率：當 x ＝ 1， 求：當 x ＝ 1， 的值 在下一個範例，將示範如何建立相似的數學模型。 P.3-68 第三章　微分 範例 2　改變面積 一顆鵝卵石丟進平靜的池塘，引起同心圓的漣漪，如照片所示。外圈漣漪的半徑 r 是以 1 呎/秒的速率增加。當半徑為 4 呎時，泛起漣漪水面的總面積 A的變化率為何？ P.3-68 第三章　微分 範例 2　改變面積 （解） 變數 r 和 A 的關係為圓面積 A ＝ π r2。利用半徑的變化率為dr/dt 的事實，就可解本題。 　　方程式：A ＝ π r2 給定變化率：當 r ＝ 4， 求：當 r ＝ 4， 的值 使用這個模型，可參照範例 1 來進行運算。 P.3-68 第三章　微分 當 r ＝ 4 且 dr/dt ＝ 1，則 當半徑為 4 呎時，此面積的變化率是 8? 平方呎/秒。 範例 2　改變面積 （解） P.3-68 第三章　微分 檢查站 2 如果在範例 2 中，外圈漣漪的半徑 r 是以 2 呎/秒的速率增加，則當半徑為 3 呎時，總面積的變化率為何？ P.3-68 第三章　微分 解相關變化率的問題 在範例 2 中，半徑以等速率改變 (即對所有的 t，dr/dt ＝ 1)，但是面積以非等速率變化。 P.3-68 第三章　微分 解相關變化率的問題 範例 2 的解法說明解相關變化率問題的步驟。 準則的步驟 2 則是要求必須寫出決定給定變數關係的方程式。 P.3-69 第三章　微分 學習提示 注意，在準則中步驟 3 和 4的順序。在還沒有完成微分前，不要將已知的變數值代入。 P.3-69 第三章　微分 解相關變化率的問題 下表列舉一些常見之變化率的數學模型，在求解相關變化率問題時可參考使用。 P.3-69 第三章　微分 某公司銷售 x 單位產品的利潤 P (美元) 模型為 銷售量以每天 10 單位的速率增加，求銷售 500 單位時利潤的變化率 (美元/日)。 範例 3　分析利潤函數 P.3-69 第三章　微分 範例 3　分析利潤函數 （解） 因銷售量以每天10單位的速率增加，所以在時間 t的變化率為dx/dt ＝ 10 。因此，這個問題可表示如下。 為了求利潤的變化率，可應用表示利潤 P 與產品銷售量 x 的關係的利潤模型。 P.3-70 第三章　微分 由等號兩邊分別對 t 微分可得 當 x ＝ 500 單位且 dx/dt ＝ 10 時，利潤的變化率是 利潤函數 (以 x 為變數) 的圖形顯示在圖 3.38。 範例 4　分析利潤函數 （解） P.3-70 第三章　微分 範例 4　分析利潤函數 （解） P.3-70 圖3.38 第三章　微分 檢查站 3 如果銷售量以每天 10 單位的速率增加，及 求銷售 50 單位時利潤的變化率 (美元/日)。 P.3-70 第三章　微分 範例 4 　增加產量 某公司以每週 200 單位的速率增加一項產品的產量，週需求函數的模型為 p ＝ 100 － 0.001x 其中 p 是單價 (美元) 以及 x 是一週的生產單位數。求每週產量為2000 單位時，收入對時間的變化率。收入的變化率將會大