单元刚度矩阵[k].ppt

3、关于节点编号问题 与方阵存贮所需的存贮量相比，等带宽存贮大大减少了所需占用的计算机内存。例如，对于具有100个节点的平面刚架而言，总刚度矩阵共有300×300即9万个元素。按等带宽存贮时，假定其最大半带宽UBW = 18，则所需存贮量为300×18 = 5400个元素。 按等带宽方式存贮刚度矩阵也存在优化问题，这就是最大半带宽UBW最小。欲使最大半带宽UBW最小，必须注意节点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点号差最小。 5.3 结构刚度矩阵的变带宽存贮 等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、不算，更能节省内存和运算时间。这就是本章要介绍的变带宽存贮，也称一维数组存贮。 1、存贮方式 假定结构刚度矩阵[K]在方阵存贮中有如下形式： 对 称 图4-9 方阵形式的刚度矩阵[K] UBW=4 顶 线 （1）半带宽内零元素的两种情况 ① 零元素所在列的上方全是零元素。 ② 零元素所在列的上方还有非零元素。 例如，把第一个方程的若干倍加到第二个方程上去的时候，图4-9 中第四列顶线以下的那个零元素将成为非零元素，在之后的消元过程中要起作用，因而仍须存贮。 （3）顶线以下零元素须要存贮 （2）顶线以上零元素无须存贮 因为在求解平衡方程组 Kδ= P 的时候，它们根本不参加运算。例如采用自上而下地消去法求解或以后采用的其它解法都有是如此。 * * （2-20） （2-25） （2-28） （2-33） 单元刚度矩阵[k]中任意列元素分别等于该单元的 某个节点沿坐标方向发生单位位移时，在各个节点上所引起的节点力。 第四章 结构刚度矩阵的存贮方式和组集程序 前面几章，我们介绍了有限元法的基本原理，较深入地讨论了单元分析和系统分析理论。有限元法的重要价值在于方便编写程序，借助于计算机完成全部计算工作。 在整个编程和计算中，影响最大的是结构刚度矩阵的存贮和组集。本章就对这一问题进行专门讨论。 结构刚度矩阵的组集方法、程序和它的存贮方式密切相关，还依赖于约束条件的处理方式。本章介绍三种存贮方式：方阵存贮、等带宽存贮和一维数组存贮。 本章讨论的结构刚度矩阵存贮方式和组集的基本内容，适合于各类结构，包括杆系结构、弹性连续结构等。适合于结构静力分析，也是结构动力分析以及稳定性分析的重要基础。 下面，我们就从方阵存贮方式开始。 为叙述简便起见，本章中所用“单元刚度矩阵”一词都指结构坐标单元刚度矩阵。只有特别需要时才加“结构坐标”定语。 5.1 结构刚度矩阵的方阵存贮 （3-8） 由第三章式（3-8）知 结构刚度矩阵[K]等于所有膨胀后的单元刚度矩阵[k]相累加。下面详细考察如何在程序中实现这个操作。 1、单元刚度矩阵元素的两类地址 单刚地址和总刚地址。 （1）单刚地址 单刚地址是指单元刚度矩阵元素在膨胀前的单元刚度矩阵中的地址，即行、列号。式（4-1）矩阵中每个元素的两个下标就是该元素的单刚地址。第一个下标指行号，第二个下标指列号。例如k15的说明它是矩阵中第1行第5列位置的元素。 （4-1） （2）总刚地址 总刚地址是指单元刚度矩阵元素在膨胀后的单元刚度矩阵中的地址（行、列号）。这个地址与单元的节点号有关，而节点号是离散结构时编好的，还与节点自由度有关。 i j X Y ?i3 ?j1 ?j3 ?i1 ?j2 ?i2 l 图4-1 设式（4-1）是图4-1所示梁单元的单元刚度矩阵。该单元两个节点的节点号为i、j，节点自由度是3。 单元刚度矩阵元素的总刚地址应为：i1、i2、i3、j1、j2、j3，如式（4-2）。 （4-2） i1 i2 i3 j1 j2 j3 i1 i2 i3 j1 j2 j3 有 （4-3） 图4-2 i j m ?i1 ?j1 ?m1 ?i2 ?j2 ?m2 X Y 如果式（4-1）是图4-2所示平面问题三角形单元的单元刚度矩阵。该单元三个节点的节点号为i、j、m，节点自由度是2。 单元刚度矩阵元素的总刚地址应为：i1、i2、j1、j2、m1、m2，如式（4-4）、（4-5）。 有 （4-4） （4-5） i1 i2 j1 j2 m1 m2 i1 i2 j1 j2 m1 m2 （3）两类地址的连接数组 建立一个连接数组供