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概率论与数理统计2 * 1．设 A与B都不发生的概率是A与 B同时发生的概率的2倍，则 解 得 一. 填空题 2．任取两个不大于1的正数，则它们的积不大于2/9, 且它们的和不大于1的概率是___________. 解 设两个数分别为x,y, A表示事件{x与y的积不大于2/9,且x与y的和不大于1},则 所求概率为= A面积 Ω面积 3. 设随机变量X在[-1,2]上服从均匀分布,随机变量 则D(2Y+1)=__________. 解 X的概率密度函数为 故得Y的分布律 4．设随机变量X和Y满足 则 解 5．设 是来自总体 的样本， 的概率密度为___________________. 则样本均值 解 的概率密度为 6．设 是来自总体 的样本， 样本方差为 样本均值为 未知.检验假设 应取检验统计量__________________. 7. 设 是来自正态总体N(0,1)的样本， 当k=______时，kY服从 分布，自由度是________. 解 同理 故 相互独立 1．设随机变量 则随着 的增大,概率 （A）单调增大． （B）单调减小． （C）增减不定． （D）保持不变． ( ). D 解 与 无关. 而 二.选择题 2．设事件A,B,C两两独立，则A,B,C相互独立的充分 必要条件是( ). （A）AB与AC独立; （B）AB与B独立; （C）AB与A独立; （D）AC与B独立． D 如果AB与AC独立, 有 如果AC与B独立,则有 反之亦然. 解 可排除(B)和(C). 故(A)不正确. 3．设随机变量X在区间[-1，3]上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有 则ε=( ). （A）1; （B）2; （C）3; （D）4． B 解 由于 所以 即 由切比雪夫不等式有 即有 得 4. 对于以下各数字特征都存在的两个随机变量X和Y, 如果 (C) X和Y相互独立； (D) X和Y不相互独立. 则有( ). B 5．设 是来自总体 的样本,则 （A）0.975;（B）0.95; （C）0.05; （D）0.025． 解 6. 设总体 ,σ2未知,若样本容量n和置信水平为1-α均不变,则对于不同的观测值,总体均值μ的置信区间长度L（ ）. 解 (A)变长; (B)变短; (C)不变; (D)不能确定. 当方差未知，μ的置信水平为1-α的置信区间为 置信区间长度为 由于样本容量n和置信水平为1-α均不变,则区间长度L与S有关.对于不同的观测值,S如何变化不确定,故置信区间长度L不能确定. D 7．对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受 那么在显著性水平0.01下,下列结论正确的是( ). （B）可能接受 ,也可能拒绝 （A）必接受 （C）必拒绝 （D）不接受 ,也不拒绝 A 解 在α=0.05下接受 当α变小时,接受域扩大了. 无论 是已知还是未知,无论是双侧假设检验还是单侧假设检验,都是如此. 即检验统计量观测值落在接受域内. 1.设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，对X做3次独立观察，求至少有两次观察值大于3的概率. 三、计算题 解 由已知X的概率密度为 设A表示“做一次观察,观察值大于3” ，则有 做3次独立观察,至少有2次观察值大于3的概率为 2.已知随机变量X的概率密度为 且 求(1)常数a,b的值；(2) 解 (1)由 再由 解得 (2) 3．设 是来自总体 的样本， 样本均值为 解 由于 试确定 的值, 使得 最大. 于是有 令 得驻点 当 时, 当 时, 所以当 时, 最大,即 最大. 4.设总体X的概率密度函数为 其中θ-1为未知参数,求参数θ的矩估计量和最大似然估计量. (2) 设 是样本观察值, 得θ的最大似然估计值为 设似然函数为 得θ的最大似然估计量为 取对数 求导 5. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布, 求 的概率密度 解 设 则 故T的概率密度为 的概率密度 当 时, 当 时, 6. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布,在 的条件下,随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布,求(1)随机变量X和Y的联合概率密度;(2)关于Y的边缘概率密度;(3)概率 解 (1)X的概率密度为 在 的条件下,Y的条件概率密度为 故X与Y的联合概率密度为 因此 (2)当 时, 当