因式分解和分式 3.9.docVIP

易佳教育初三数学备课讲义 课 题 因式分解，分式 教学内容 专题一、因式分解 一、因式分解的意义： 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式 注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式； ②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。 例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 二、因式分解的方法 类型一、提公因式法 提公因式时应注意： ⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑： ①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。 例01．在下面因式分解中，正确的是（ ） A． B． C． D． 例02．把分解因式的结果为 。 例03．分解因式：. 说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于与的符号有下面的关系： 例04．解方程： 例05．不解方程组求：的值. 类型二、公式法 1、利用平方差公式因式分解： 注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清、分别表示什么。 例如：分解因式： （1）； （2）； （3） 2、利用完全平方公式因式分解： 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 公式原型，弄清、分别表示的量。 典型例题： 例1 用平方差公式分解因式： （1）； （2） 说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 例2 分解因式： （1）； （2）. 说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式. 例4 把下列各式分解因式： ⑴ ； ⑵ ⑶ 说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号. 例5 分解因式： ⑴ . ⑵ 说明：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止. 例6 分解因式： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ . ⑷ 说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方 法，要真正理解，学会运用. 例7 若是完全平方式，求的值. 说明：根据完全平方公式特点求待定系数，熟练公式中的“、”便可自如求解. 例8 已知，求的值. 说明：将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值. 例9 已知，，求的值. 说明：这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式 分解，使之转化为关于与的式子，再整体代入求值. 例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数. 说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数. 例11 已知和满足方程组，求代数式的值。 类型三、分组分解法 1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。 2、原则：分组后能继续分解（即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的）。 3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为： ①组内提公因式或运用公式； ②组间提公因式或运用公式。 分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟一， 且灵活多变. 例如：⑴am+an+bm+bn； ⑵x2-y2+2x+1. 例1 选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ） （A）（B） （C）（D） 说明：本组题目用来判断分组是否适当. 例2 因式分解： （1）； （2） 说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一； （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单； （3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“－”的括号时，括号内每项要变号； 例3 分解因式： （1）； （2）； ⑶ 说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方