奥数复习纲要4.docVIP

排列组合? ? 乘法原理? ?一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，….，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。 ?加法原理? ?一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法中有m1种不同方法，第二类方法中有m2种不同的方法，…..，第K类方法中有mk种不同的方法，则完成这件事共有 N=m1+m2+….+mk种不同的方法。排列? ? 一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。 ?一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（m≤n）的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，我们把它叫做Pnm. ? ? 组合? ? 一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。 一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，记作Cnm. ? 排列组合? ? 运用这两个基本原理时要注意： 不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立的把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数。 不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数。 解决排列组合，主要有两种方法：捆绑法、插空法。 ? 数学游戏? ? ? 轮流报数，最后致胜策略? ? ? 数阵图? ? ? 一般地说，在n×n(n行n列)的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方。这个和叫做幻和，n叫阶。（九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出）? 九子排列?上、下对易?左右相更 ? ? 统筹规划? ? 串行性? 并行性? ? 整数问题? ? ? 约数和倍数：如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。? ? 记作：b|a 2.如果bc|a,则b|a,c|a. 3.如果b|a且c|a,且(b,c)=1,那么bc|a. 4.数的整除特征：（2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，29） 定理一：能被2或5整除的特征，是它的末位数字能被2（或5）整除。 定理二：能被4(或25)整除的特征，是它的末两位数字能被4（或25）整除。 定理三：能被8(或125)整除的特征，是它的末三位数字能被8(被125)整除。 定理四：能被11整除的特征，是这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字的和的差能被11整除。 定理五：能被7(11或13)整除特征，是奇位千进位的总和与偶位千进位的总和的差（或者反过来）能被7(11或13)整除。 定理六：能被17整除特征，是末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除。 定理七：能被19整除的特征，是末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除。 定理八：能被23（或29）整除的特征，是末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除。 ? ? 质数（素数）、合数、质因数、分解质因数? ? 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 注意：1不是质数，也不是合数。 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 ? ? 约数个数的判断：36=22×32?约数的个数=(2+1)×(2+1)? ? ? 所有约数的和：?36=22×32?约数的和=(1+2+4)×(1+3+9)? ? ? ? 最大公约数和最小公倍数? ? ? 熟练运用辗转相除法? ? ? 定理：两个数最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。（a,b）x[a,b]=axb? ? ? 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。? ? ? 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。? ? ? 9．带余除法 ? 方法一? ? 例如：一个数除以3余款，除以5余额，除以7余款，求适合这条件的最小的数。 解：先分别求出被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5整除余1的数（21），能被3和5整除而被7整除余1的数（15） 70?×?2?+?21?×?3?+15?×?2?–3?×5?×7?×n=233-105n=23 ? 方法二? ? ? 方法三? ? ? ? 同余性质? ? 定理一：若a≡b(mod?m),