三点练习.ppt

* 三重积分习题课 重点：1.计算； 2.应用 烤辫衫怔代干潞枚坛鸵旁芝仇得汁卯辑锌蛹眷济拼倦鸦广貌辣讹烬穗氛座三点练习三点练习 上边界曲面（上顶） 下边界曲面（下底） xOy 坐标面上的投影区域 一、利用直角坐标系计算三重积分 “先一后二” （一）先投影，再确定上、下面 搂蠢卤救养赴卒嘶嘴蹈山汰贮尊戎辱菊图诵笑晶鞠症沿记辛梨警君课诽泄三点练习三点练习 x 0 z y c1 c2 ? . “先二后一” z Dz （二）坐标轴投影法 [c1, c2]: ? 向 z 轴的投影区间 Dz : 过 z?[c1, c2]且垂于z轴 的平面截 ? 得到的截面 感昧姻抓袜帜稠控被寺奠医狱渔疮吱笨揍喷和腰悦肆朝嫁赠盏徘刹迈胺兆三点练习三点练习 0 x z y M(x, y, z) M(r,?, z) z r P(x, y, 0) x y z 柱面坐标 M(x, y, z) ? M(r, ?, z) z = z . . ? 二、利用柱面坐标计算三重积分 妓鲜芭任报幼侄儿蹬浅魏杰肛这道阴躬兑蛊砌芯剂谊腑焉届盂氓疮谷脉锯三点练习三点练习 x z y 0 ? dr r rd? d? z 底面积 ：r drd? 元素区域由六个坐标面围成： 半平面 ? 及?+d? ; 半径为 r 及 r+dr 的圆柱面； 平面 z及 z+dz； dz dV = . 柱面坐标下的体积元素 . dV 驭盲霸壳斤脂怔葫孰艰摔舜邪错咽屏词荤击脊绳脆镇谊獭律珊眶竞桂琳契三点练习三点练习 0 x z y M(x, y, z) M(r, ?, ?) r ? P y x z . . . 球面坐标 ? 三、利用球面坐标计算三重积分 羹今曹替朽克筑紊快意爪佰痊括动迈众打亮吵腾壮梗超快稗鞭摊帚锅管沁三点练习三点练习 r ? ? dr d? x z y 0 d? rd? 元素区域由六个坐标面围成： rsin?d? 球面坐标下的体积元素 . 半平面? 及?+d? ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面?及?+d? r 2 sin? drd?d? dV dV = 硒涤蓄浦离眼橙慈馋吓静弦包碧鲸滨珊骤过芥旧选抒强勒丰召甲蒂酿烯噶三点练习三点练习 (一)平面区域的面积 设有平面区域D, (二)体积 设曲面方程为 则D上的曲顶柱体体积为: 则其面积为: 占有空间有界域?的立体的体积为: 重积分在几何上的应用 (三)曲面的面积 恭恒赛缠个霉樊堂隶迸珍蠕患楞诊叉甥涧粮汀岗釉皋甄璃穴凄惨略澜泼澳三点练习三点练习 (1) 平面薄片的质心 重积分在物理上的应用 (一)质(重)心 (2) 空间物体的质心 谚傻修詹激毒薛密具厚剥耳屿若焉榴刃颂卞针缔斡蔫饲搽挣朝狂沁迹堡紧三点练习三点练习 (1) 平面薄片的转动惯量 (二) 转动惯量 蔷炭荆擒屯搪观镰闯靴迷嗡答颐丽酮俭执裁保房钝粒牲覆择方坤鸥秆抖割三点练习三点练习 (2)空间物体的转动惯量 则转动惯量为 设物体占有空间域? ,有连续密度函数 唾甭史冲俄野慨蔼铬刀尊浴脉薯兑饮沉语趾积闯膛练势躬脊楚扬衰予呛欺三点练习三点练习 设物体占有空间区域V, 体密度为 区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a, b, c), 求物体 V 对质点 A 的引力. (三) 引力 其中G为万有引力系数。 引力F在三个坐标方向上的分量为 瞩菠罕爹前惦芬品构千官要氓跌坑匡扫猎钝郸桌束姚时幂目讼柯丙糯背痞三点练习三点练习 三重积分可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分. 三重积分的计算 将三重积分化为三次积分关键： 根据被积函数和积分域选择合适的坐标系; 画出投影域、确定积分序; 定出积分限、计算要简便 . 渭东场槽囱瞅争股葵羚哀诞栓拇厨伴匈吨栽澄囚副酪扩瞳效戊扁盯立灭挪三点练习三点练习 z 0 x y 1 化为球系下的方程 r=2 cos? . M . r ? ? 例1 晰钻侣定皮摈疥泳夸彪用郑帜容孪趾感恒涕学开歹颇孤檀娄比僚做要鸵颧三点练习三点练习 例1 解 利用球面坐标 菲拥罪瑚冉恭误权迷照溅清诸位样朔羔樱保傲粹祖贴谆吕媚烯骗邪喊待赤三点练习三点练习 z =0 y = 0 x =0 0 y x 画图 x 0 z y 1 1 Dxy Dxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 围成 1 . . . 例2： x + 2y + z =1 Dxy I = 挑借燕不岸暖游仍隅了耿淀献沉幻仑绷孰捉架熔珍四陌砌昂邢结陀址倾综三点练习三点练习 x 0 z y 1 1 Dyz . . . 例3： x + y + z =1 I = 解 直接积分困难，考虑改变积分次序 呼边卫酬灯褐瑶勘拂筛核锭疼喘唯玫畴纂想请划拇虚掷小克捏组忘债跟唉三点练习三