从数学高考题看学生思维能力培养.doc

从数学高考题看学生思维能力培养数学思维能力是数学能力的核心，近几年的数学高考，都强调宽角度、多视点地考查数学素质，对思维能力的要求是会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理能合乎逻辑地准确地进行表述，“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思维能力的发展，按照思维过程可以把思维能力分成四类：抽象概括能力、化归转化能力、推理论证能力、猜想发现能力，本文以近几年一些高考试题的分析，谈谈在解题过程中学生思维能力的培养， 1、以退为进――化归转化 华罗庚先生曾说过，退到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径。从而再“进”到一般性问题上来， 例1、(06年。上海文)如图1，平面中两条直线l(M1)和l(M2) 相交于点O，对于平面上任意一点M,若p,g分别是M到直线l(M1) 和l(M2) 的距离，则称有序非负实数对(P，g)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是()。 分析：本题在和斜交的情况下叉定义了“距离坐标”的概念，显得错综复杂，但仔细分析不难发现，题目中只是说两条直线和f2相交于点D并没有指明两条直线的夹角是多少，我们不妨把它们的夹角特殊化，取成90°，见图2，此时“距离坐标”即直角坐标系中点M到x轴和y轴的距离，很显然，点M有4个，分别在四个象限内，所以本题答案是4，由此06年上海理16题也不难回答。 例2、(99年，全国理)如图3，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=3/2，EF与平面AC的距离为2，则该多面体的体积是( ) (A)9/2 (B)5 (c)6 (D)15/2 分析：本问题中的多面体既非棱柱又非棱锥，直接求解比较麻烦，不妨从特殊情况人手，将EF的长度看成O，则该多面体变成了我们熟悉的四棱锥， 体积V=1/3.3(H2)×2=6，而原问题巾的多面体体积应大于6，故选D， 评述以上两例采用特殊化策略，将复杂问题化为简单问题和较熟悉问题，从而达到问题的解决，这正是化归方法的基本思想， 2、类比联想一推理论证 美国著名数学家波利亚(G.Polva)认为类比就是一种相似相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似，类比与归纳演绎不同，它是直接从选定的对象到另一特定的具体对象的推理，有更大的自由度，它不需要以一般原理为中介，不需要经过抽象阶段，可以在两个不同知识领域之间进行知识的过渡，如，平面几何一立体几何，代数法则一算术法则等， 例3、(03年，全国文)在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB(H2) +AC(H2) =BC(H2) ，”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理。研究三棱锥的侧面面积与底面面积问的关系，可以得出的正确结论是设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则( )。 分析s(H2)＋s(H2)＋s(H2)＋s(H2)，见图4，过程略。 评述：本题是一个探索性问题，要求类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，立体几何中的某些定理性质可以通过联想、类比平面几何中的有关定理性质得到。 例4、(01年，全国)如图5，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )。 A，26 B，24 C，20 D，19 分析：本题初看较抽象，但是若与日常生活中水流量的最大值相类比。则问题变为从A到B有粗细不同的水管。求水流量的最大值，所以应取每条路线上的最小值之和，即4+3+6+6=19，故选D， 3、抓住本质一抽象概括 出于选拔性的需要，数学高考题中有不少原创型的、背景陌生、题型新颖、结构精巧的题目，这些问题表面上看来难以解决，但是只要合理运用数学知识、数学方法和数学思想，就可以构造出符合条件的已经解决或比较容易解决的数学模型， 例5、(94年，全国)在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a(M1)a(M2)，…，a(M2) ，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a(M1),(M1)，a(Mn) 推出的a=( )。 分析：设a与各数据的差的平方和为y，则y=(a－a(M1) )(H