若干三角形轮换对称不等式.pdf

维普资讯 第 襻1年5月期 Journalofsuz师Ra[Iv院,ayIeach报ersCoLlej VoMIay18．N2o60．21 200 文章缡号 ：10~}4—5201{2001)020024-06 若干三角形轮换对称不等式 褚小光 (吴县 电视大学 ，苏州 215128) 摘 要：运用不同的方法，证 明了一组三角形轮换对称不等式。 关键词：轮换对称；三角形；不等式；等价；布洛卡尔点 中图分类号：O124；O122．3 文献标识码 ：A 引言 在形形色色的三角形不等式中，我们通常遇到的是全对称不等式和半对称不等式 ．而对 于轮换对称不等式研究甚少。在文献 [1]中，笔者介绍了关于三角形轮换对称不等式的一种证 法，并建立了四个三角形轮换对称不等式 ；在文献 [2]中，我们应用 函数方法 ．证明了关于三 角形边长的三个严格轮换对称不等式链 。本文将用不同的方法 ．证明六个三角形轮换对称不 等式，最后提出两个待解决的猜想 。以下恒用 ／3(7=n，CA=b，AB=f．s，R．r，△，m ， ” m ，h ，h ，h 分别表示 ／．At3C的半周长 ，外接圆半径 ，内切圆半径，面积 ，相应的中 线及高 ；∑表示循环求和。 2 仅含三角形边长的两个不等式 众所周知 ．在 △ABC 中有 abc≥ (b+c—n)(c+口一6)(n+b—c) (1) (1)式等价于Euler不等式 R ≥2r。(1)式展开得 =n +3abc≥ !(b+ ) (2) 以下给 出一个轮换对称不等式。 定理 1 在 △ABC 中，有 口 +b +f +3abc≥ 2(a2b+bc+cn) (3) 当且仅 当AABC为正三角形时，(3)式取等号。 证明 设 l丁= S—n。Y= s—b． ：s—c，贝0口=Y+z，b= 。+ ，c= +Yo (3)式经置换后，等价于 (Y+ )+ (：+ )+( + ) +3( +。)(z+ )( + ) ≥ 2( + )(z+ )+2(：+ )( +Y)+2(z+ )(Y+z) 收磷 日期 ：2001．01．08 收修El期 ：2001—03-23 作者简彳r：褚小光 {1963一)，男，江苏苏州人 。主要从事几何不等式研究 维普资讯 璺 塑 鲎 ： 羞±三鱼型丝垫壁堑丕量 上式展开整理得 Y 2+ 2 +_zY≥ 3xyz (4) 根据均值不等式 ，即知上式成立 ，故不等式 (3)得证 定理 1证毕。 经恒等变换，不等式 (3)等价于 s≥4Rr(鱼+÷+旦)+3r (5) 1971年 ，M S．Klamkin建立如下不等式 鲁+詈+a≥{(n+6+c)(+吉+{) (6) 针对 (6)式 ，我们给出更一般的结论。 定理 2 在 AABC 中，当 7／l≤ 2时有 (鲁)+(詈)+()≥{(n++r)(+ +专) (7) 当且仅当 △ABc为正三角形时，(7)式取等号。 证明 当 =±2时，(7)式分别为 如 图所 不 。 由