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轨迹探求(教案)
轨迹探求(教 案)
课型:复习课
知识目标:1.在掌握曲线与方程概念的基础上,进一步了解点集与解集的对应关系;2掌握求轨迹方程的基本步骤,把握求轨迹方程的基本方法及适用情境,并能在具体的活动中学会对比与选择,包括必要的调整.
能力目标:1.培养学生代数化的能力、逻辑思维能力,渗透数形结合、函数方程、化归转化等重要的学科数学思想;2.在解决问题的活动中,培养学生的数学意识(目标与求简意识),增强“引参、用参、消参”的能力;3.在对动态情境的把握中渗透运动、变化等辩证唯物主义思想.
情感目标:树立战胜困难的信心与勇气,培养坚强的意志品质与锲而不舍的精神.
教学重点:在探索运动情境中合理选择方法与建立变元间的联系.
教学难点:体味运动情境、合理引入参数.
教学过程
一 基本步骤:建——设——限——代——化.
这一解题过程充分说明了,曲线上点的坐标都是方程的解,即“曲线上的点绝不比以方程解为坐标的点多”;但是,不一定保证方程解为坐标的点不曲线上的为多.因此,完成“建——设——限——代——化”这一过程后,常从“数形”双方捕捉信息,对方程中的字母作出说明或限制,以确保曲线上的点与方程的解之间建立一一对应.
五个步骤中最为核心的是挖掘动点运动的“限”制条件,它决定着解题的方向与方法.
二 基本方法及其适用情境
1.动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和为2,则点P的轨迹围成图形的面积为( )
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16
分析:尚难看出点P的轨迹图形,为此通过方程去看轨迹.
直接法: 只要利用解析工具(即有关公式)将几何条件代数化即可.
2.已知点F(1,0),直线L:x=-1.点B是L上的动点,若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( )
(A) 双曲线 (B) 椭圆 (C) 圆 (D) 抛物线
分析:初看动点M的运动是由点B引起,可考虑利用转移法;M又是动直线的交点,还可考虑利用参数法或交轨法.深入挖掘动点的运动规律,发现:|MF|=|MB|,此即到定点与到直线距离相等的点的轨迹——抛物线.
3.一动圆M过定点A(1,0),且定圆B:(x+1)2+y2=16相切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .
分析:动点的运动是由几何图形位置关系给出,因此,必须利用几何知识挖掘动点运动的限制条件:|MA|=R,|MB|=4-R,即|MA|+|MB|=4,动点到两定点的距离之和为定值(大于2),故点M的轨迹是椭圆:a=2,c=1,方程为x2/4+y2/3=1.
4.过椭圆x2/6+y2/4=1上任一点M(x1,y1)作x轴的垂线,垂足为N,则线段MN中点P(x,y)的轨迹方程为 .
分析:点P的运动是由已知运动规律的点M的运动引起的,可考虑用P的坐标去替换M,进而产生P的轨迹方程.
将x1=x, y1=2y代入x12/6+y12/4=1,得x2/6+y2=1为所求.
坐标代入转移法,也叫相关点法,实质上是特殊的参数法,当不易产生坐标间的关系时,只好考虑用参数法.
5.双曲线(x-t2)2/6-(y-2t)2/4=1中心的轨迹方程是 .
分析:双曲线中心的横坐标与纵坐标间并无直接联系,而是间接地依赖于参数t,即x=t2,y=2t,y2=4x为所求.
6.动直线L1:y=k(x+1)与动直线L2:-ky=(x-1)交点M的轨迹方程为 .
分析: L1的方程是L1上动点流动坐标(x,y)满足的代数关系, L2的方程便是L2上动点流动坐标(x,y)满足的代数关系;若将两方程联立,则方程组中的(x,y)便是交点M的流动坐标;不必解出(x,y),只需从方程组中直接消去参数k,便得x2+y2=1().
由上可见,人们应用基本方法的根本目的,就在于产生动点流动坐标间的等量关系;之所以,出现诸多基本方法,是因为限制动点运动的情境各不相同.
因此,当我们面对陌生的动点轨迹探索题时,总是从限制动点运动的条件出发,寻找解题计划.
三 典型例题
例题1 已知两点M(-1,0),N(1,0),动点P使,,成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹.
分析:题中已直接给出了动点的运动的限制条件,只需用动点的坐标将向量条件代数化便可.
解:设点P的坐标为(x,y),则
,
,
.
由题意知2(x2+ y2-1)=2(x+1)-2(x-1),
且-2(x-1)-2(x+1)0,
整理得,点P的轨迹方程为:
x2+ y2=3(x0),其轨迹是以原点为圆心、为半径的圆落在y轴右侧的部分(半圆).
注:代数运算与变形能力的高低是决定“代数化”能力强弱的首要因素,这个看似平淡的高考题,得分率很低便充分说明了这一点.
例题2 如图,A、B
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