随机过程及排队论06.ppt

* 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 例 某镇有一小商店，每日8:00开始营业。从8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/小时；11:00到达率达最高峰20人/小时。从11:00到13:00平均顾客到达率为20人/小时。从13:00到17:00平均顾客到达率线性下降，17:00顾客到达率为12人/小时。假设在不相交的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，试问在8:30到9:30时间内无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间机内到达商店的顾客的均值为多少？ * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 解 设8:00为t=0，11:00为t=3，13:00为t=5，17:00为t=9，第二天8:00可以为t=9。于是，顾客到达率是周期为9的函数： ?(t)＝?(t-9) 根据题意，在[0,t)内到达的顾客数{N(t),t?0}是一个非齐次泊松过程。 在8:30到9:30无顾客到达商店的概率为 在8:30到9:30到达商店的顾客均值为 * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 复合泊松过程 设{N(t),t?0}是参数为?的泊松过程，{Yn，n=1,2,…}是相互独立同分布的随机变量序列，且{N(t),t?0}与{Yn，n=1,2,…}相互独立，令 称{X(t),t?0}为复合泊松过程。 * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 例 某计算机相继两次出现故障的间隔时间为相互独立服从相同指数分布的随机变量。每出现一次故障需要支付费用来维修。设发生在不同时间的故障所花的维修费用是相互独立、同分布的，且维修费和故障时间相互独立，设Yn表示第n次的维修费，N(t)表示[0,t)内的故障次数，令 表示[0,t)内的总费用，则{X(t),t?0}是一个复合泊松过程。 * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 复合泊松过程的数字特征 设{X(t),t?0}为复合泊松过程， 。其中{N(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程，Yn，n=1,2,…，相互独立、与Y同分布的，Y的特征函数为φy(u)，则复合泊松过程有： 特征函数为φX(t,u)= 均值函数 mX(t)=E[X(t)]=E[N(t)]E{Y}=λtE[Y] 方差函数 DX(t)=D[X(t)]=E[X2(t)]-E2[X(t)] =λtE[Y2]=E[N(t)]E[Y2] * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 更新计数过程 设{N(t),t?0}是计数过程，如果它的时间间距 T1,T2, …,Tn,…是相互独立同分布的随机变量，则称{N(t),t?0}为更新计数过程，称时间间距为更新间距。 例 电话台呼唤流 设有一个不断受到呼唤的电话台，电话呼唤到达的时间为?1,?2,…,?n，时间间距T1=?1,T2= ?2-?1，Tn=?n-?n-1是相互独立同分布的随机变量。令N(t)表示在时间[0,t)内收到的呼唤数，则{N(t),t?0}是更新过程。 * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 更新过程的概率分布 设{N(t),t?0}是更新过程，其到达的时间为?1,?2,…, ?n。时间间距T1=?1,T2=?2-?1,Tn=?n-?n-1相互独立都与随机变量T同分布。设T的分布函数为FT(t)，故Tk的分布函数为FTk(t)＝FT(t)，k=1,2,… 令更新计数过程的分布函数为FN(t)(k)＝P{N(t)k}，则 由时间间距T的特征函数?T(u)，计算到达时间?k＝ 的特征函数： 由?k的特征函数??k(u)确定?k的概率密度f?k(t)和分布函数F?k(t)； 由F?k(t)确定更新计数过程{N(t),t?0}的分布函数。 由于事件{?kt}与事件{N(t)?k}等价，从而 P{?kt}＝P{N(t)?k}＝1-P{N(t)k} 即 F?k(t)＝1－FN(t)(k) 故 FN(t)(k)＝1－F?k(t) * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 更新过程的均值函数 设{N(t),t?0}是更新过程，则 * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 本讲主要内容 泊松过程 泊松过程的两个定义及其等价性 泊松过程的概率分布 泊松过程的数字特征 泊松过程的性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程 更新计数过程 * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* 下一讲内容预告 马尔可夫过程 马尔可夫过程的概念 马尔可夫过程的分类 离散参数马氏链 * 计算机科学与工程学院　顾小丰 28－* P98 12. 15. 19. 习 题 三 计算机科学与工程学院　顾小丰 计算机科学