D1-8 多元函数的极限与连续.PPT

第一章 函数与极限 §1.8 多元函数的极限与连续 本节内容 多元函数的定义 多元函数的定义域与几何图形 二元函数的极限和连续性 §1.8 多元函数的极限与连续 多元函数的定义 邻域 点集 称为点 P0 的? 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 §1.8 多元函数的极限与连续 多元函数 ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 §1.8 多元函数的极限与连续 定义1 设 是 中的一个非空点集，若有一个对应 规则 f ，使得对于 内每一个点 ，都能由 f 唯一地 确定一个实数 z ，则称对应规则 f 为定义在 上的二元 函数，记为 或 §1.8 多元函数的极限与连续 其中 x 和 y 称为自变量， 称为函数的定义域，记为 称为 所对应的函数值，全体函数值的 集合称为函数 f 的值域，记为 ，即 注　定义１中二元函数的记法 ， 被称为“点函数”写法．这样可使二元函数和一元函数在 形式上保持一致． §1.8 多元函数的极限与连续 二、多元函数的定义域与几何图形 给定一个二元函数，则其定义域也相应给定．若它是 用解析式表示的函数，它的定义域就是使得解析式中的 运算有意义的自变量取值全体；若是从实际问题中建立 的多元函数，则该函数的自变量有其实际意义，其定义 域要符合实际． §1.8 多元函数的极限与连续 例１求函数 的定义域，并作出其示意图． 解　由函数表达式可知　　 即 故 其图形如图阴影部分所表示． §1.8 多元函数的极限与连续 设 是定义在 上的一个二元函数， 当 在 内任意取值时，它们与对应的函数值一起 组成三元数组 ，其全体是空间 中的点集： 的几何图形． 它一般是空间 中的一个曲面．此即二元函数 §1.8 多元函数的极限与连续 　例2　函数 表示什么图形？ 平面上方的部分，即上半球面. 解 该函数表示以原点为中心，半径为１的球面在 §1.8 多元函数的极限与连续 三、二元函数的极限和连续性 为了表达简洁，对二元函数采用“点函数”表示． §1.8 多元函数的极限与连续 定义3： §1.8 多元函数的极限与连续 定义4： §1.8 多元函数的极限与连续 定义5： 二元函数情形可记为 §1.8 多元函数的极限与连续 例４　判断下列极限是否存在，若存在求其值： 解　（１）当 时， ，因此 §1.8 多元函数的极限与连续 解　（2）当 沿着斜率为k的直线趋于 时， 这时 ， 当k值变化时，上式值不同，因此 不存在. §1.8 多元函数的极限与连续 由 可知， 是一个有界变量， 而y 是 时的无穷小量，因此 §1.8 多元函数的极限与连续 当 时， ， ,因此