D5-3定积分的换元法与分部积分法.PPT

第五章 定积分与二重积分 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 本节内容 二、定积分的分部积分法 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) 2) 在 上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是 的原函数 , 因此有 则 则 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 说明: 1) 当? ? , 即区间换为 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换限 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 例1. 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 例2. 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 例3. 计算 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 例4. 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 例5. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明： 解: (1) 由定积分的区间可加性 并由此计算 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 (2) 周期的周期函数 则有 结论(1)说 明周期函数在任意一个长度为T的区间的定积分 都相等，从而可根据题目灵活选取区间端点. §5.3 定积分的换元法与分部积分法 §5.3 定积分的换元法与分部积分法 二、定积分的分部积分法 定理2. 则 证: