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Gauss 曲率与平均曲率的意义
Gauss 曲率与平均曲率的意义
谢锡麟 复旦大学力学与工程科学系
2015 年4 月2 日 麟
1 知识要素
1.1 Gauss 曲率的几何意义 锡
此处考虑三维空间中的二维曲面 的某一点 的弯曲程度. 在 点附近的曲面
上任取一邻域, 记作 . 如果曲面 是一个平面, 显然该邻域 中所有点的法向量
都指向同一方向; 曲面越弯曲, 则邻域 中各点的法向量的指向就越分散. 这些法向
谢
量分散的程度也就反应了曲面在该点处的弯曲程度.
为了定量表示邻域 内各点法向量的分散程度, 可作如下映照: 将邻域 内每一点的法
向量之起始端移动到同一点(比如原点), 则邻域 内曲面上的每一点都对应于单位球面(记
稿
作 ) 上的一个点, 这个映照称为 Gauss 映照, 如图1所示. 而这些法向量的分散程度也就可以
用单位球面上的点组成的区域相对于球心的立体角表达. 对于单位球面, 立体角在数值上也就等
于该区域的面积. 讲 z
n(x )
Σ
析
Σδ n(x )
Σ
y
分 O
2 x
x
Σ
D
量 xΣ
1
x
张 O Σ
Figure 1: Gauss 映照示意
因此, 可以定义曲面在点 附近的弯曲程度为
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Gauss 曲率与平均曲率的意义
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