MFS 双层势能问题.PPT

MFS雙層勢能問題 MFS 的雙層勢能問題 河工系 碩一A 許哲瑋 大綱 前言 數值方法概述 method of fundamental solutions (MFS) 算例 結論 參考文獻 前言 在一般實際的工程問題中，其定義域的幾何形狀較為複雜，解析解通常較不易求得，因此必須藉由數值方法來求解，而比較常用的數值方法則有以下三種： 有限元素法(FEM) 邊界元素法(BEM) 有限差分法(FDM) 數值方法概述 邊界元素法 邊界元素法是以基本解和勢能理論為基礎，並配合相關的奇異積分或超奇異積分，去對邊界做離散而得到聯立方程式，進而求解。 而邊界元素法，又可概分為直接法與間接法等兩類主軸。 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS介紹 MFS單層勢能問題(單極) MFS雙層勢能問題(單極) MFS單層勢能問題(偶極) MFS雙層勢能問題(偶極) 混合方法 Method of Fundamental Solutions (MFS) 基本解法 (MFS)介紹 基本解法(MFS)是以積分化黎曼和的觀念，以離散及疊加的技巧去處理邊界値問題的一種方法，而其近似解可由符合PDE問題的基底，以線性組合來表示(例如 cos t + sin t) 。而其通常被歸類為是邊界方法的一種。 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS單層勢能問題(單極) 勢能函數u 在場點 若具有齊性等向性則滿足Laplace equation 其式子為： Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS單層勢能問題(單極) 任意一源點 對場內ㄧ點 所造成的勢位場，可由二維的勢能問題基本解表示式來表示： 其中 為源點 和場點 間的距離 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS單層勢能問題(單極) 而對所有在場內源點勢能加總的表示式可表示為： 其中 為在 點感受到的強度，為一虛擬的單層密 度函數。 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS雙層勢能問題(單極) 若 為過 的通量，其勢流場核函數 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS雙層勢能問題(單極) 其系統方程矩陣可表示為： Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS勢能問題(偶極) 基本上與單極勢能問題並無太大出入，主要的差異在於偶極勢能問題是在領域外用兩個極點去處理問題。並也可進而推廣到多個極點。 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS單層勢能問題(偶極) 根據單極的勢能公式，單層勢能(偶極)的公式可改寫成 令 令h趨近0取極限且 可得 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS單層勢能問題(偶極) 又 代入整理可得 其中 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS雙層勢能問題(偶極) 其勢流場的表示式為 當 Method of Fundamental Solutions (MFS) MFS雙層勢能問題(偶極) 以系統矩陣形式表達為 其中 Method of Fundamental Solutions (MFS) 混合方法 混合的方法可用不同的邊界點排列得到，其系統方程與上述相同。其源點可沿著放大區域的邊界任意安置。 根據經驗，為了得到較好的效果，放大區域的比例大約介於1.5~1000之間。 算例 一塊方形區域，其邊界位移條件(Dirichlet conditions)給定如圖所示： 算例(續) 通常在其放大區域的倍率介於2到1000之間的表面，使用一些組合去佈4~40個邊界點。在這裡分12個邊界點及24個邊界點，在放大倍率5的區域表面上去討論。 而由圖形可觀察其平均誤差值之比較。 算例(續) 而在使用雙極點，或是雙極點與單極點組合的方法下，也可發現振盪的強度很有效的減少。 結論 此方法在驗證後可得到以下結論： 用(D)或(MDD)或 (MDS)的極點排列方法