Section 51 Antiderivatives and indefinite integrals 反导函数与不定积分.PDF

Section 5.1 Antiderivatives and indefinite integrals 反導函數與不定積分 上一章我們已經學過微分以及它的應用。現在我們考慮反向的過程，稱為積分 (antidifferentiation) ，給定一個導函數，找出它原始的函數。積分也有許多的應用，例如，微 分將一個 cost function轉變成 marginal cost function ，因此積分會將marginal cost function轉變 成 cost function 。稍後我們會使用積分做其它用途，如找出面積等等。 【Topic 1. 反導函數與不定積分】 Antiderivatives and Indefinite Integrals 2 1. 我們開使用一個簡單的例子來解釋積分。因為 x 的導函數為 2x ，因此2x的反導函數 2 (antiderivative)為 x : 2 2 An antiderivative of 2x is x Since the derivative of x is 2x 無論如何，2x還有其的反導函數。下列每一個函數都是 2x的反導函數 : 2 2 2 x + 1 x –17 x + e Since the derivative of each is 2x 2 2 很明顯地，我們可加上任何常數到 x 且微分結果仍為 2x 。因此對任意常數C 而言，x + C都是 2x的反導函數。同時，它也可以被證明出 2x 沒有其它的導函數。因此 2x最一般 2 化的反導函數 (most general antiderivative) 為 x + C 。 2. 2x 一般化的反導函數稱為 2x的不定積分 (indefinite integral) ，並將 2x 寫在積分符號 (integral sign ∫) 與 dx中間 : ∫2x dx x 2 +C 上式中的 2x 稱為被積分函數 (integrand). dx 提醒我們積分的變數為 x 。C稱任意的常數 (arbitrary constant) ，因為它的值可以為任意的數值，正數、負數、或零。 2 3. 一個不定積分簡稱積分( 可以藉由檢查答案) (x + C)的微分是否與被積分函數 (2x) 相同。 【Topic 2. 積分規則】 Integration Rules 1. 有許多的規則可以用來簡化積分。首先，在微積分裡最常被使用的，即為 x常數次方函數 的積分。它來自於指數微分規則 (Power Rule for differentiation)的反向思考。換言之，要 對一個 x 常數次方函數做積分，其 結果為 x的 指數值加 1 ，並除以新的 指數值 。(請排除