“曲线形”图形如何求面积.PPT

* 第3节 积分 一、定积分的概念和性质 1．“直线形”平面图形的面积求法 容易求积的基本图形有：矩形，梯形，三角形 具直线段边界的平面图形面积的求法 —— 化成容易求积的基本图形 —— 归结为三角形面积之和 称三角形为直线形图形的“基元图形” （basic element graph） ① 什么是“曲线形”图形的“基元图形”？ ② 如何定义“基元图形”的“面积”才合理？ ▲ 任一“直线形”图形可划分成 有限个“基元图形”的“并” ▲ 定义基元图形的“面积” 问题：“曲线形”图形如何求面积？ 求得面积 2．基元图形的选取——曲边梯形 （1）曲线形的分解——曲边梯形的概念 用两组互相垂直的平行线“分割”曲线形 分割后的小块，有两种情况： ① 矩形 —— 归结为已能求面积的图形 ② 由一条曲线和三条直边组成 的图形 —— 这种图形称为“曲边梯形” “曲边梯形”是曲线形的基元图形 （2）曲边梯形在直角坐标系中的表示 设曲边梯形为S，把S中与曲边相对的直边放在x轴上 曲边梯形由下列方程代表的曲（直）线所围成 3．曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即 求 下的面积（ ） —— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。 若“梯形”很窄，可近似地用矩形面积代替 在不很窄时怎么办？ —— 以直代曲 （3）求和 把这些矩形面积相加 作为整个曲边梯形面积S的近似值。 （1）分割 在 间插入 个分点： 作平行于y轴直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 。 在每个小区间 上任取一点 ， 用矩形的面积 来近似小曲边梯形面积 。 （2）取近似 （4）取极限 有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边梯形的面积。 所以，为了求曲边梯形的面积，就要研究这个特殊和式的极限，这就是定积分。 4．定积分的概念 是定义在 上的函数，在 中任意插入分点 ,将 分成n个小区间，记 ， ，对 ,若和式极限 对任一分割，任意 均存在，则称 在 可积，或说 是 上的可积函数（integrable fun.），并把这个极限值记为 ，称其为函数 从a到b的定积分（definite integral）。 Def.1 此时 称为被积函数（integrand） ：积分区间（integral interval） a：积分下限(upper bound) b：积分上限（lower bound） x：积分变量（integral variable） ：被积表达式 定积分的几何意义 若 的图形在x轴上方，即 即曲边梯形的面积A 若 称 为曲边梯形的“代数面积” （ii） （iii） 可积条件 定积分的简单性质 （i）定积分与积分变量无关： 若 ，or 在 上有界且至多只有可数多个间断点 在 上可积。 例如 取 取 特别地当 时， 已知 可积时，和式中的分割和 都可根据需要取特殊的。 Remark 例题 e.g.1 一般地， e.g.2 e.g.3 猜想： e.g.4 奇函数在对称区间上积分为0 *