概率分布间的关系研究.pdf

概率分布间的关系研究 姓名：王斌 姓名：王斌 姓姓名名：：王王斌斌 专业：06信息与计算科学 B1班 专业：06信息与计算科学 B1班 专专业业：：0066信信息息与与计计算算科科学学BB11班班 指导老师：史及民 指导老师：史及民 指指导导老老师师：：史史及及民民 一、摘要 随机变量的概率分布是概率论和数理统计教学中最基本的概念，也是随机变量研究的 终极目的。众多概率分布彼此之间存在着这样那样的联系，弄清楚这些分布之间的关系对学 习和应用概率论无疑是十分重要的。本文介绍了常见的几种概率分布，例如： 2 正态 χ 、F、t、 等之间的关系，也列举了一些不常见的分布，如超几何、威布尔等等之间的联系，并对文中 的某些关系进行严格的理论推导与证明，最后还给出了几个应用实例。 二、关键词：分布、正态分布、复合、特征函数 三、关系研究 （一）关系分类研究 1、均匀、指数、威布尔、瑞利、麦克斯韦、辛普森这几个分布间关系 这一部分涉及的几个分布间关系的简单图如下： 辛普森分布←均匀分布↔ 指数分布↔ 威布尔分布→ 瑞利分布← 麦克斯韦分布 （图1） 下面一一进行论证： (1)均匀分布↔ 指数分布 1 均匀分布→指数分布 命题：设随机变量X~U(0,1)，其概率密度为： ⎧1, 0 x1 1 f(x) = ⎨ ，则Y = −αln X~e( )(α 0) ⎩0, 其他 α 解： 依题有： F(y) Y = P{Y ≤ y} = P{−αln X≤ y} y − α = P{X≥e } 1 = ∫−y f(x)dx e α y − =1−e α y 1 −α 对上式求导，f (y) = e ,y 0 Y α y≤ 0时， f (y) = 0； Y 即有Y = −αln X的p.d.f.为： y ⎧1 −α ⎪ e ,y 0 f(y) = ⎨α ⎪ 0 ,y≤ 0 ⎩ 即 1 Y = −αln X~e( )(α 0为参数) α 其实有以下一般结论： −1 若y=G(x)为单调、连续函数，不妨设G(x)单增，x=G (y)为其反函数，又设 −1 ′ ξ ~U(0,1)，则Y =G (ξ) ~G(y) 证明： −1 依题Y∈(−∞,+∞)， F(y) = P{Y ≤ y}= P{G (ξ) ≤