《工程数学》复习方法之二临近期末，为帮助学生更好地复习《工程数学.DOC

《工程数学》复习方法之二 临近期末，为帮助学生更好地复习《工程数学》（包括《线性代数》、《概率论与数理统计》）的主要内容与方法，结合自身近年的一些教学经验，总结了一些学习复习的方法，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。 现将《线性代数》中第二章《矩阵及其运算》的要点与学习复习方法以问答形式总结如下： 1．为什么要学习矩阵？ 答：矩阵是线性代数最重要的概念之一，由于对矩阵可以进行运算和变换，所以它成为线性代数的有力工具，是线性代数全部内容的纽带和桥梁。它在数学与其他自然科学、工程技术、社会科学特别是经济学中有着广泛的应用。例如，一般线性方程组有解的充要条件和作为解线性方程组基础的克莱姆法则都可以用矩阵运算导出；二次型的研究可以转化为对称矩阵的研究；由于线性变换与矩阵存在一一对应关系，从而可以利用矩阵来研究线性变换；向量组的线性相关性讨论也可以利用矩阵来研究。 2．为什么矩阵乘法不满足交换律？ 答：因为按照矩阵乘法的规定，只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数与第二个矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵相乘才有意义。否则无意义。另一方面，即使与都有意义，与仍然可以不相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律。即在一般情况下，. 但是对于同阶方阵，是一定成立的，这是因为. 又对于数的运算，交换律成立，即，故. 3．判断矩阵可逆的常用方法有哪些？ 答：判断矩阵可逆的常用方法有 （1）若有方阵，使或，则可逆，且. （2）计算方阵（如）的行列式是否不为零，若，则为可逆矩阵。 （3）若的伴随矩阵可逆，或，则可逆。 （4）以后还会学到如下判别方法： ① 若阶矩阵的秩，则可逆。同理，若，则可逆。 ② 若方程组有唯一解或只有零解，则可逆。 ③ 若阶矩阵的行（列）向量组线性无关，或为的基础解系，则可逆。 ④ 若阶矩阵的行向量组或列向量组两两正交，则可逆。 ⑤ 若方阵的特征值全不为，则可逆。 4．什么是伴随矩阵？它有哪些主要性质？ 答：方阵的行列式的各列（行）的各个元素的代数余子式写在同序数的行（列）上所构成的矩阵，称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随矩阵，记为. 即若，则. 的主要性质有： ①； ② 若，则，. ③ 若，，则，. ④. ⑤. ⑥. 5．求方阵的高次幂有哪些常用的方法？ 答：求方阵的高次幂的常用方法有： ① 利用数学归纳法（找“规律”法）； ② “二项展开式”法：分解，且，利用二项展开公式 . ③ 当时，其中均为矩阵，利用矩阵乘法的结合律 . ④ “方阵的对角化”法：利用相似对角化，即求可逆矩阵，使得 ，则. 理工教研组 孙洁