《计算数学》课程教案（十七）课题：不定积分的概念与性质课时：2周次.DOC

《计算数学》课程教案（十七） 课题：不定积分的概念与性质 课时：2 周次：13 授课日期：2012-11-30 地点：1-411 授课方式及手段： 课堂讲授 教学目标： 通过教学，使学生理解和掌握不定积分的概念和性质； 掌握不定积分的基本运算法则与基本积分公式 教学重难点： 不定积分的概念和基本运算法则 不定积分的性质与不定积分运算 教学过程与内容： 一、不定积分概念 原函数的概念 例1：由，则称为的一个原函数. 可表示为的所有原函数 例2:由,则称为的一个原函数 是的所有原函数 定理:如果,叫的一个原函数,则函数族也为的原函数,且是的所有原函数. 不定积分的概念 定义:设,则函数的所有函数，称为的不定积分，记作 为不定积分 为被积函数 为被积函数 注意：一定要配合，否则无意义 例如：无意义 回到例一、例二：， 例1：函数为_____的一个原函数 解：由于任何函数都是其一阶导数的一个原函数，因此函数是其一阶导数的一个原函数，于是应将“”直接填在空内。 例2：的一个原函数为函数，则一阶导数 解：由于任何函数都是其原函数的一阶导数，因此函数是其原函数的一阶导数，即函数 ， 再计算函数的一阶导数，得到 例3：已知为的一个原函数，则的原函数为（D） A． B． C. D． 例4：若，则被积函数 解：由于被积函数是原函数的一阶导数，因而所求被积函数 于是应将“”直接填在空内。 不定积分的性质 性质1：如果函数存在原函数，则 或 证：设函数为的一个原函数，当然有关系式，所以一阶导数 根据函数微分表达式，所以微分 性质2：如果函数可导，则 或 证：由于函数是其一阶导数的一个原函数，所以不定积分 根据函数微分表达式，所以不定积分 观察：根据这两个定理，形式上可以认为：微分号在积分号前面，它们相互抵消；积分号在微分号前面时，它们也相互抵消，但由于后积分，须加积分常数 例5：一阶导数 解：根据定理，一阶导数于是应将“”直接填在空内。 例6：不定积分 解：根据定理，不定积分 于是应将“”直接填在空内 例7 若，则 . 分析 此处关键是要求得被积函数，而由知道与为导数与原函数的关系，所以 所以，被积函数 故所要求的不定积分为 所以横线处应填写的答案是。 不定积分的基本运算 法则1：如果函数都存在原函数，则不定积分 证：由于一阶导数 因而函数为的原函数，又由于它本身含积分常数，所以得到不定积分 法则2：如果函数存在原函数，为非零常数，则不定积分 证：由于一阶导数 因而函数为的原函数，又由于它本身含积分常数，所以得到不定积分 三、 不定积分的基本公式 在不定积分的定义中，并没有给出具体的计算不定积分的方法，但由于求不定积分相当于求原函数，与求导是互逆的运算，因而根据导数基本公式，可以得到下列不定积分公式。 1．由常数的导数公式得 由于，故有不定积分 (由于再加上一个常数还是常数，故此处只写一个常数) 2．由幂函数的导数公式得 由导数公式，有，有()，所以有不定积分 (其中) 3．由指数函数的导数公式得 由导数公式()，有，所以有不定积分 () 当时， 4．由对数函数的导数公式得 由导数公式()，所以有不定积分 () 若，有，所以有不定积分 () 综合以上两个公式可得 5．由三角函数的导数公式得 由导数公式，得不定积分公式 由导数公式，有，得不定积分公式 由导数公式，得不定积分公式 由导数公式，有,得不定积分公式 6．由反三角函数的导数公式得 由导数公式，得积分公式 由导数公式，得积分公式 教学小结： ①原函数的概念 ②不定积分的概念 ③微分与积分为互逆运算 课后练习： 阅读参考书目： 《微积分》 周誓达 中国人民大学出版社 第四版 《高等数学》 姜晓明 机械工业出版社 2008年9月第1版 《微积分及其应用》 （美）marvin.Bittinger 机械工