《高等数学》C第六章教案.DOC

线性代数初步 引 言 在科学技术和经济管理活动中，经常遇到解线性方程组的问题。本章主要介绍行列式及其计算；矩阵的基本概念及其运算和线性方程组的解法及理论。它是处理许多实际应用问题不可缺少的重要工具。下面我们举几个例子。 例1在中学已学会利用加减消元法或代入消元法求解二元、三元线性方程组，而含有个未知量个方程的线性方程组， 如何判断有解与求解？这个问题可以用阶行列式来解决。 例 2 某地供电部门鼓励用户夜间用电，实行分时段计费，现知甲、乙两户在某月的用电数（单位：度）和缴费（单位：元）情况如下： 问该地白天和夜间的电价各是多少？这个问题可以用解矩阵方程或解线性方程组来解决。 例 3 四个未知量三个方程的线性方程组 如何求解？这个问题可以用线性方程组的理论来解决。 §6.1行列式及其计算 一、行列式概念 1．排列的奇偶性 按照一定的次序排成一列，叫做这个元素的一个全排列，简称阶排列。容易验证：个元素共有!个排列。 例1 ：自然数1,2,3构成的3阶排列有3!=6种: 123，132，213，231，312，321. 对于阶排列，我们要考虑其各元素之间的次序。规定自然数从小到大构成的排列12…为标准次序，如果两个元素中较大元素排在较小元素的前面，那么就称这两个元素构成一个逆序（反序）。一个排列中所有逆序的总数，叫做这个排列的逆序数。用表示阶排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数的计算方法： 设是自然数1到的一个排列，若排在1前面的元素有个，排在2前面比2大的元素有个， ，排在前面比大的元素有个。则 =,其中. 例2　求排列43152的逆序数。 解　=2+3+1+0=6，所以43152是偶排列。 定理6.1 （）个元素的所有排列中，奇排列和偶排列的个数相等，各为个. 2. 行列式的定义 用消元法解二元线性方程组和三元线性方程组时，引出了二阶行列式和三阶行列式： 和 . 其规律遵循对角线法则： 现在分析三阶行列式表达式的结构,希望把行列式概念推广到阶情形。可以看出三阶行列式表达式有如下三个规律： （1）是3！项的代数和； （2）每一项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积：，其中第一个下标排列都是，第二个下标排列是1，2，3的某个排列。这样的排列共有个. （3）每一项的符号：三阶行列式右端前三项取正号，它们的列标排列依次是123，231，312，这些都是偶排列；后三项取负号，它们的列标排列依次是321，213，132，这些都是奇排列。因此，项所取的符号可以写成. 于是三阶行列式可写成 =. 根据三阶行列式这一形式，可以把行列式概念推广到阶情形： 定义6.1　个数排成的阶行列式 （ 6-1 ） 是项的代数和，这些项是一切可能取自（ 6-1 ）中位于不同行、不同列的个元素的乘积，项的符号为，其中为自然数1，2，…，的一个排列。 即阶行列式 =. 和号对的所有排列求得,共有项。 有时把阶行列式简记为、。数称为的元素，又称为的元。 用此定义所得到的二阶和三阶行列式，显然与前面给出对角形法则是一致的。 当时，一阶行列式。注意与的绝对值区分开，需要时加以说明。 行列式从左上角到右下角的对角线称为行列式的主对角线。从右上角到左下角的对角线称为行列式的副对角线。 ３. 三角形行列式的计算 根据行列式的定义容易得到： (1) 上三角形行列式 ; . (2) 下三角形行列式 =; (3) 反上三角形行列式 ； (4) 反下三角形行列式 . 当行列式中0比较多时，可以按定义计算行列式（称为定义法），例如上面的三角形行列式。 二、行列式的性质与计算 1. 行列式性质 根据阶行列式的定义，计算一个阶行列式，要求!项个元素乘积的代数和。当阶数比较大时，这样的计算量是很大的。在这里，先研究行列式的运算性质，然后利用其性质给出简便的计算方法。 将行列式的行、列互换得到的行列式称为行列式的转置行列式，记为或。 性质6.1　行列式与它的转置行列式的值相等。即。 由行列式的定义立即得证。 该性质的作用是：凡对行成立的性质，对列也同样成立。以后仅对行证明,对列同样成立。 性质6.2　交换行列式的其中两行（列），行列式改变符号。 用表示行列式的第行，用表示第列。交换行列式的第行与第j行，记作。交换第列与第j列，记作。 推论6.1　如果行列式其中有两行（列）完全相同，则行列式等于零。 证明　交换相同的两行，由性质2得，，于是，所以。 性质6.3　行列式中某一行（列）所有元素的公因数可以提到行列式符号的外面。 由行列式的定义立即得证。 第行元素乘以数，记作；第列元素同乘以数，记作