一、反函数的求导法则.DOC

§2.4 反函数的求导法则与初等函数求导的问题 一、反函数的求导法则 定理2 如果函数x(f(y)在某区间Iy 内单调、可导且f ((y)(0( 那么它的反函数y(f (1(x)在对应区间Ix({x|x(f(y)( y(Iy}内也可导( 并且 ( 或( 简要证明( 由于x(f(y)在I y内单调、可导(从而连续)( 所以x(f(y)的反函数y(f (1(x)存在( 且f (1(x)在I x内也单调、连续( 任取x (I x( 给x以增量(x((x(0( x((x(I x)( 由y(f (1(x)的单调性可知 (y(f (1(x((x)(f (1(x)(0( 于是 ( 因为y(f (1(x)连续( 故 从而 ( 上述结论可简单地说成( 反函数的导数等于直接函数导数的倒数( 例1．设x(sin y( 为直接函数( 则y(arcsin x是它的反函数( 函数x(sin y在开区间内单调、可导( 且 (sin y)((cos y(0( 因此( 由反函数的求导法则( 在对应区间I x(((1( 1)内有 ( 类似地有( ( 例2．设x(tan y( 为直接函数( 则y(arctan x是它的反函数( 函数x(tan y在区间内单调、可导( 且 (tan y)((sec2 y(0( 因此( 由反函数的求导法则( 在对应区间I x((((( (()内有 ( 类似地有( ( x(a y(a(0( a (1)为直接函数( 则y(loga x是它的反函数( 函数x(a y在区间I y((((( (()内单调、可导( 且 (a y)((a y ln a (0( 因此( 由反函数的求导法则( 在对应区间I x((0( (()内有 ( 到目前为止( 所基本初等函数的导数我们都求出来了( 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、、的导数怎样求？ 二、基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数( (1)(C)((0( (2)(x?)((? x?(1( (3)(sin x)((cos x( (4)(cos x)(((sin x( (5)(tan x)((sec2x( (6)(cot x)(((csc2x( (7)(sec x)((sec x(tan x( (8)(csc x)(((csc x(cot x( (9)(a x)((a x ln a( (10)(e x)((ex( (11) ( (12) ( (13) ( (14) ( (15) ( (16) ( 2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u(u(x)( v(v(x)都可导( 则 (1)(u (v)((u((v(( (2)(C u)((C u(( (3)(u v)((u((v(u(v(( (4)( 3．反函数的求导法则 设x(f(y)在区间Iy 内单调、可导且f ((y)(0( 则它的反函数y(f (1(x)在Ix(f(Iy)内也可导( 并且 ( 或( 4．复合函数的求导法则 设y(f(x)( 而u(g(x)且f(u)及g(x)都可导( 则复合函数y(f[g(x)]的导数为 或y((x)(f ((u)(g((x)( 例3( 求双曲正弦sh x的导数. 解? 因为( 所以 ( 即 (sh x)((ch x( 类似地( 有 (ch x)((sh x( 例4( 求双曲正切th x的导数? 解? 因为( 所以 ( 例5( 求反双曲正弦arsh x的导数? 解? 因为( 所以 ( 由( 可得( 由( 可得( 类似地可得? ? 例6．y(sin nx(sinn x (n为常数)( 求y(( 解( y(((sin nx)( sin n x + sin nx ( (sin n x)( ( ncos nx (sin n x+sin nx ( n ( sin n(1 x ((sin x )( ( ncos nx (sin n x+n sin n(1 x ( cos x (n sin n(1 x ( sin(n+1)x (