一般而言，用观察法或图形求解找出方程式的解都不是容易的事，尤其.DOC

一般而言，用觀察法或圖形求解找出方程式的解都不是容易的事，尤其當變數個數在3個以上。但是方程式呈下列的情形： x+y-2z = -3 y+2z = 8 z = 3 從第3個方程式可以得知z = 3，再將z = 3代入第2個方程式可以求得y = 2，最後再將z = 3，y = 2代入第1個方程式可以求得x = 1。這種求解的方式即是所謂的後向代換法（back-substitution）。也就是說，可以從最後一個方程式求得一個變數的值，將值代入最後2個方程式中可以求得另一個變數的值；以此類推，將所求得的變數值一直代入前1個方程式中即可以求得另一個變數的值，直到代入第1個方程式求得最後一個變數的值為止。 雖然說後向代換法可以容易地求得方程式的解，然而只適用於具有特殊型態的方程組，而大多數的方程組並不是如此。儘管如此，如果可以找出轉換的方法，利用這轉換成具特殊型態的方程組，即可以用後向代換法來求解。 事實上，方程組的轉換方法有下列三種基本運算方式： 第一種基本列運算： 將方程組的某兩個方程式位置互換 第二種基本列運算： 將方程組的某一方程式乘以非零的常數 第三種基本列運算： 將方程組的某一個方程式乘以非零 的常數後，再加到另一個方程式 以上三種方程式的轉換方式具有共同特性，就是將方程組內的方程式作任何一種轉換都不會影響方程組的解。 例： x+y-2z =-3 -x-y+z = 0 2x+3y-2z = 2 此方程式的解為x=1，y=2，z=3。假設以轉換將第一個方程式乘以-2，則第1個方程式變成： （-2）（x+y-2z）=（-2）（-3） 或， -2x-2y+4z =6 因此，轉換後的新方程組為： -2x-2y+4z = 6 -x-y+z = 0 2x+3y-2z = 2 求解後可以得知此新方程組的解也是x=1，y=2，z=3。即轉換後的新方程組與原來方程組有相同的解。 為了運算求解的方便起見，常以一種表列的方式來表達線性方程組， 例： x+ y-2z = -3 -x- y+ z = 0 2x+3y-2z = 2 則表列方式： x y z 直線將最右邊一行予以隔開，原因是因為該行的係數不是方程式的變數的係數，而是其等號右邊的常數項。因此，對任意線性方程組來說，都可以用這種表列方式來表達，用來表達的表列即是所謂的增廣矩陣（augmented matrix） 如果把前述方程式的三種轉換方法應用於增廣矩陣，可以得到三種矩陣基本列運算： 任意兩列互相交換位置 任一列乘以非零的常數 任一列乘以非零的常數後，再加到另一列 例： （1） 將式（1）矩陣第2列與第3列互換位置（表示） 如果將式（1）矩陣第1列乘以-2（表示） 若將式（1）矩陣第3列乘以3再加到第2列（+3表示），即 +3=+3 = + = → 則矩陣變成： 如前述所說，如果要應用後向代換法來求解聯立方程組，則該方程組的增廣矩陣必須具備如下列矩陣的特殊型態。 在此介紹兩個名詞：主對角線與上三角矩陣 主對角線，這些數所在的行位置與列位置相同。 例 矩陣中的1、4、6即是該矩陣的主對角 上三角矩陣，是位於主對角下方所有數均為0的矩陣。 例 即為上三角矩陣 如果聯立方程組的擴增矩陣為上三角矩陣而且主對角的數均為1時，則可以應用後向代換法來求解 找出聯立方程組的解步驟包括： （1）將聯立方程組寫成擴增矩陣型態 （2）將矩陣轉換成上三角矩陣 （3）將上三角矩陣還原成簡化的聯立方程組 （4）以後向代換法求解， 利用基本列運算將矩陣轉換 上三角矩陣的方法即是所謂的高斯消去法（Gaussian elimination ） 例 試以基本列運算將下列擴增矩陣轉換成上三角矩陣 解 → → → → → →