一阶线性微分方程与求导计算.PDF

第 31卷第 1期 大 学 数 学 Vo1．31。№ ．1 2015年 Z月 CoLLEGE M ATHEM ATICS Feb．2015 一 阶线性微分方程与求导计算 桑 波 (聊城大学 数学科学学院。山东 聊城 252059) [摘 要]利用一阶线性齐次微分方程的求解公式，建立了两类重要函数的求导公式，从而揭示 了线性 微分方程与函数导数之间的紧密联系． [关键词]求导法则；微分方程 ；幂指函数 [中圈分类号]0172．1；0175．1 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2015)01-0075—03 1 研究背景 函数的求导问题是微积分的重要内容之一．对此问题历届学生普遍反映 比较困难 ，尤其是复杂 函 数 的求导．这主要是因为：一方面他们对求导公式的理解还不够深入 ，另一方面平时训练强度也不够． 在传统的教材体系中，函数求导与微分方程的求解是两个相对独立的教学内容，见[1，2，3]．在教 学实践中，我们尝试 以微分方程的观点重新审视求导公式 ，以达到深入理解求导公式的 目的．通过研 究发现一阶线性齐次微分方程与求导公式之间存在密切的内在联系． ^ 为行文方便，形如Ⅱ (z)的函数称为广义幂函数，其中 ，=12，…，志为非零常数， 』=l 厂J(z)0， ()≠ 1， = 1，2，… ，忌 为可导函数．形如 口 (x)mJ“的函数为广义幂指函数，其中mJ，一1，2，…，k为非零常数， ，=1 (z) 0， (z)≠ 1， ．f= 1，2，…，k． 为可导函数，且 gJ()为非零、可导函数．尽管对数求导法是计算这两类函数导数的通用方法，但其求 解过程仍略显繁琐． 需要指出的是 ，当k= 1，m 一 1时，广义幂指 函数变为通常的幂指函数．这类 函数的求导方法已 有一些论述 [1引． 2 广义幂 函数的求导 引理 1 设 厂(z)为非零、可导函数 ，则有 错d_lnI)I+c， 其中C为任意常数． 证 只需利用第一类换元积分法和基本公式 j =lnIzI+c， [收稿 日期]2014—07—20 [基金项 目]国家 自然科学基金 ；聊城大学实验技术研究基金(LDSY2014110) 76 大 学 数 学 第 31卷 其 中C为任意常数 ． 下面考虑一阶线性齐次方程 k dy — m ， 络 ， (1) 其中m ，．『：==1，2，…，k为非零常数 ， ()，J===1，2，…，k为非零可导函数． 令 一 k稿 ， 则由引理1，方程(1)的通解为 — ce 一ce， 一cⅡ (z)． (2) 由此 ，得到下面的求导公式． 定理 1 设 ，一 1，2，…，志为非零常数 ， (z) 0，J一 1，2，…，k为可导函数 ，则 -[=k1纾cz，一]一直i=1纾c壹ji=l1J＼^． c3， 推论 1 设函数 厂(z