三、灰色系统理论在横断学科群中的地位.DOC

第二章 灰色方程与灰色矩阵 2.1灰色代数方程与灰色微分方程 定义2.1.1 含有灰参数(灰元)的代数方程称为灰色代数方程. 定义2.1.2 含有灰元素的维向量称为维灰色向量.维灰色向量记为 不含灰元的白方程,求解较为简单,一般一元白方程的解是实数轴上确定的点.多元白方程组的解也已有明确的表述.灰色方程的解讨论起来较为复杂.严格说来,灰色方程并不是一个方程,而是许多个方程的代表符号.灰色方程代表的方程个数,取决于方程中灰元的取值.若灰元皆在有界灰域内取有限个值,则灰色方程代表有限个白方程,若方程中灰元取无穷多个值，灰色方程就代表无穷多个白方程.例如灰色方程 的解为.当,时,解集为;当,时,解集为. 灰参数的不同取值,与解集中不同的值相对应.一般地,一元一次灰色方程的解为实数轴上若干个点或灰区间, 元一次灰色方程组的解为维灰色向量, 其它类型的灰色代数方程的解集的形式也与同类白代数方程类似. 定义2.1.3含有灰参数的微分方程称为灰色微分方程. 灰色微分方程可通过积分或通过特征方程转化为灰色代数方程求解.此处从略. 2.1灰色矩阵及其运算 定义2.2.1 含有灰元的矩阵称为灰色矩阵,记为,并用或表示灰色矩阵中第行第列处的灰数.如 即为一个灰色矩阵,其中为白数,. 定义2.2.2 设为灰色矩阵,为中灰元个数,称 (2.2.1) 为灰色矩阵的绝对元灰度;而 (2.2.2) 则称为灰色矩阵的相对元灰度. 相对元灰度在[0,1]内取值.当时, 中无白元;时, 为白矩阵.绝对元灰度和相对元灰度均可说明中灰元的多少. 全体行、. 以为元素的行、. 两个满足一定条件的灰色矩阵可以进行加、、,,若与的对应元素都相等,即 则称灰色矩阵与相等,记作. 定义2.2.4 设,,称 (2.2.3) 为与的和;称 (2.2.4) 为与的差.称为的负灰阵. 命题2.2.1 灰色矩阵的加法和减法满足以下规则: ; ; 定义2.2.5 设为灰数, ,称 为灰数与灰色矩阵的数量乘积. 命题2.2.2 灰数与灰色矩阵的数量乘积满足下列运算规律: ； ; 当时,,即为的负灰阵. 定义2.2.6 设,称 为灰色矩阵与的乘积,其中 (2.2.5) 一个灰色矩阵与一个灰色矩阵的乘积是一个灰色矩阵. 仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个灰色矩阵才能相乘.一个灰色矩阵与一个灰色矩阵的乘积是一个灰数.即使与都有意义,一般地,,也就是说,灰色矩阵的乘法不满足交换律. 命题2.2.3 在运算可行时，灰色矩阵的乘法满足以下运算规律： ； . 定义2.2.7 设为阶灰色矩阵，称 (个乘积) (2.2.6) 为灰色方阵的次幂. 命题2.2.4 灰色方阵的幂满足以下运算规则: ; (2.2.7) ， (2.2.8) 其中为正整数. 因灰色矩阵乘法不满足交换律,所以,一般地 定义2.2.8 设灰色矩阵 称 为的转置灰色矩阵. 转置灰色矩阵的第行第列处的元素等于原灰色矩阵第行第列的元素. 命题2.2.5 在运算可行时,灰色矩阵的转置满足下列运算规律: ； (2.2.9) ； (2.2.10) ； （2.2.11） . （2.2.12） 2.3 几种特殊的灰色矩阵 定义2.3.1 形如 的灰色矩阵称为对角灰阵，其中未标出的元素全为零.对角灰阵也记为 diag. 命题2.3.1 对角灰阵有以下运算性质： 同阶对角灰阵的和、灰数与对角灰阵的数量乘积仍为对角灰阵； 同阶对角灰阵的乘积仍是对角灰阵，且乘法可交换； 对角灰阵与其转置灰阵相等. 定义2.3.2 以diag为白化矩阵的对角灰阵称为单位灰阵，记为.普通的单位矩阵记为. 单位灰阵在灰色矩阵运算中以其白化矩阵 =diag 的形式出现. 定义2.3.3 diag称为数量灰阵. 定义2.3.4 形如 和 的灰色矩阵称为上三角灰阵和下三