三角函数公式的托勒密方法.DOC

三角函數公式的托勒密方法 西松高中 蘇惠玉老師 托勒密的生平所知不多，較為著名的是他的許多重要著作。例如，在他的《地理學（Geography）》中所繪製的地圖中，畫出了經緯線，同時，討論了製作地圖所需的透射學的技巧。他還寫過有關天文、音樂和光學的著作和試著去證明歐基理得的平行公設。他最著名的書為Mathematical Collection，全書共十三冊，完整的包含了當時希臘人對宇宙的模型和描述，如同《幾何原本》一般，他將之前所有的成果收集在這一本書中，可以說是希臘天文學的集大成，在十六世紀哥白尼的學說被廣為接受之前，是最有影響力的天文學作品。幾世紀之後的阿拉伯稱此書為al-magisti，意即the greatest，以區分其他內容較少的天文作品。從此，這本書就被稱為The Almagest。 在托勒密的The Almagest的第一冊中，記載了托勒密如何做出他的弦表，給出圓心角及其相對應的弦長。托勒密為了要製作他的弦表，證明了一連串的幾何命題，從他對正弦的定義（圓心角所對的弦長），或是餘弦的定義（圓心角之補角所對之弦長，他稱之為半圓的剩餘，remainder of the semicircle），可以得到現今所謂的和角、差角、半角公式，其中，以托勒密定理（圓內接四邊形對角線的乘積等於對邊的乘積和）作為證明的工具。 托勒密定理 有一圓及圓內接任意四邊形ABCD，連接AC及BD。證明 矩形 AC,BD=矩形 AB,DC+矩形 AD,BC. 作角ABE，使得角ABE=角DBC加上共同的角EBD後，角ABD=角EBC但是，角BDA=角BCE [Eucl. III, 21]，因為他們對同一弧。 所以三角形ABD與三角形BCE相似，所以BC：CE :: 1BD：AD [Eucl. VI, 4]所以，矩形 BC,AD=矩形 BD,CE同時，因為角ABE=角CBD，且角BAE=角BDC， 所以三角形ABE與三角形BCD相似，所以AB：AE :: BD：CD所以，矩形 AB,CD=矩形 BD,AE，且因為 矩形 BC,AD=矩形 BD,AE所以，矩形 AC,BD=矩形 AB,CD+矩形 BC+AD [Eucl. II, 1] 此即為有名的「托勒密定理」：任意圓內接四邊形中， 對角線的乘積=兩雙對邊的乘積和。 在這個定理中，若將圓內接四邊形特殊化成圓內接長方形， 對角線AC為直徑=1時，若 ， 則可以輕易的得到 這個重要公式。 差角公式： 半圓形ABCD，AD為直徑，從A點畫兩條弦AB、AC，給定這兩條弦的長度，以直徑120來表示； 連BC。則BC可求。 連接BD，CD。則很明顯的，他們的長度可知， 因為他們為半圓的剩餘（remainder of the semicircle）所對的弦。2 因為四邊形ABCD為圓內接四邊形，所以， 矩形 AB,CD+矩形 AD,BC=矩形 AC,BD 因為矩形AC,BD已知，且矩形AB,CD已知，所以， 剩下的矩形AD,BD可知。且AD為直徑，所以BC可求得。 托勒密這個命題的意義，在於給定兩個角度及其所對的弦長，可以求得兩角度之差所對的弦長。這個命題，即是我們常看到的差角公式： 。若AD為直徑=1， ，則BC=sin(α-β)，且BD=sinα，AB=cosα，CD=sinβ，AC=cosβ。由上述的「托勒密定理」，即可得到 。 半角公式： 設ABC為半圓，AC為直徑。給定弦長CB，D平分此弧。連AB，AD，BD及DC。從D作DF垂直AC。則，CF=1/2(AC-AB)。 作AE=AB，連接DB。因為AB=AE，且AD為公共邊， 且角BAD=角EAD[Eucl. III, 27]，所以，底邊BD=底邊DE[Eucl. I, 4]但是，弦BD=弦CD，所以，弦CD=DE。因為在等腰三角形DEC中，DF為從頂點到底邊的垂直線，所以，EF=CF [Eucl. I. 26]。但是，CE=（AC-AB），所以，CF=1/2(AC-AB)。所以，因為弦BC已知，所以，半圓的剩餘所對的弦AB亦可知。所以CF=1/2(AC-AB)也可知。但是，因為DF畫在直角三角形ACD中，所以直角三角形ACD相似於直角三角形DCF[Eucl. VI, 8]，所以，AC：CD :: CD：CF。即矩形 AC,CF=正方形 CD。但是矩形AC,CF已知，所以CD上的正方形可知，所以，弧BC的一半所對的弦CD的長度可知。 托勒密證明完這個命題後，說明了如何得到一半角度所對的弦長。即若直徑AC=1， ，則BC=sinα，AB=cosα，從上述的命題知道CF=1/2(AC-AB)=1/2(1- cosα)。但是，直角三角形ACD與直角三角形DCF相似，所以， ，即 。 和角公式： 有一圓ABCD