三角函数及反三角函数之积分内容大纲.PPT

積分的應用 內容大綱 I. 面積 Ⅱ. 體積 (不經任何旋轉) Ⅲ. 體積 (經旋轉後的體積) Ⅲa. 和旋轉軸垂直相切，旋轉再積分 Ⅲb. 和旋轉軸平行相切，旋轉再積分 (methods of cylindrical shells) Ⅳ. 弧長之直角座標公式 Ⅴ. 經旋轉後的表面積 Ⅵ. 極座標 Ⅵa. 弧長之極座標公式 Ⅵb. 面積之極座標公式 Ⅶ. 參數式 Ⅶa. 弧長之參數式公式 Ⅶb. 面積之參數式公式 I. 面積 如圖，設曲線 公式 曲線 在 之間的面積。 I.例 Ⅱ. 體積 (不經任何旋轉) Ⅱ例. 楔形(wedge)。一圓柱，其圓半徑為 4。二平面切此圓柱得一楔形。一平面垂直於圓柱之軸線。另一平面通過圓柱之圓之直徑，與前一平面形成30°夾角。求此wedge之體積。 Ⅲ. 求旋轉後的體積 Ⅲa. 和旋轉軸垂直相切，再積分 Ⅲa例. Ⅲb. 和旋轉軸平行相切，再積分 (cylindrical shells) Ⅲb例1. Ⅲb例2. Ⅳ. 弧長之直角座標公式 Ⅳ例. 旋轉後的表面積(Area of a Surface of Revolution ) 下圖為二相等扇形交錯重合 Ⅴ例1. Ⅴ例2. Ⅵ. 極座標(Polar Coordinates)  Ⅵa. 弧長(arc length)之公式 Ⅵb. 面積之公式 Ⅵ例. Ⅶ. 參數式 Ⅶa. 弧長的參數式公式 Ⅶa例. Ⅶb. 面積的參數式公式 Ⅶb例. (解) 圓周長 圓周長(弧長) 圓面積 圓面積 (半徑為1之圓面積 ) ， ， 弦 之長 若 可知 表示圓心為 半徑為1之圓。求圓周長。 (解) 圓周長 圓周長 設 ， 。 則 。 若 設 為 t 之漸昇函數， ， 。 可得公式 * * 求橢圓 (解) 設 ， 所圍成之面積。 面積 註： 時，面積 ，即圓面積。 設 ， 利用 (解一) 對x-軸垂直切片，得直角 的面積 再對 相積， 得此wedge之體積 由直角 得 (解二) 對y軸垂直切片得矩形ABCD，其與 交於 。 設 矩形ABCD之面積為 再積這些矩形 ，得此wedge之體積 ， 設 ， 得 設 ， 得 註：若對z一軸切片，則得扇形，計算似頗繁複。 設曲線 ， ， 所圍的區域為 ，求 繞x-軸旋轉 (解) 任取 切得半徑 ，再旋轉得圓面積 ，再沿 軸自0至1積分得 之後的體積。 所求之體積 (解) 和旋轉軸平行切。任取 ，切得高度 再旋轉得一cylindrical shell， 同上例Ⅲa 其面積為 像一個戒指，半徑為 再沿 軸自0至1積分得 所求之體積 設 ，求 繞 軸旋轉所形成之體積。 (解) 解 得 註：本題若和旋轉軸( -軸)垂直切片，即有困難。 因 為須求 之 解。此為 之3次方程 式。 此為積分之上下限 弦 之長度 當 可知