不可忽视的函数定义域-陆丰市林启恩纪念中学.DOC

《数学辅导报》人教高考版2007年7月第2期 忽视函数定义域入歧途函数的定义域是构成函数的大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似非常简单，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途函数关系式与定义域 函数关系式包括定义域和对应法则，，不写定义域是指它的定义域是全体实数。 例1某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？ 解 设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得： ， 故函数关系式为：． 剖析 如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：. 即函数关系式为： .（） 点评 二、函数与定义域求函数的值域． 错解 令. ∴ . 故所求的函数值域是． 剖析 经换元后，应有，而函数在[0,+∞]上是增函数， 所以当t=0时，ymin=1． 故所求的函数值域是[1, +∞）． 点评. 三、函数的最值与定义域 函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题.如果不注意定义域，将会导致最值的错误.求函数在[－2，5]上的最值． ∵ ， ∴ 当时，. 剖析 初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现. 其实以上结论只是对二次函数在R上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况： ⑴ 当时，在上单调递增函数 ； ⑵ 当时，在上单调递减函数 ； ⑶ 当时，在上最值情况是： ， ．即最大值是中最大的一个值. 故本题还要继续做下去： ∵ ， ， ∴ . ∴ . ∴ 函数在[－2，5]上的最小值是－ 4，最大值是12． 点评判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.的奇偶性. 错解：∵f(﹣x)=,∴f(﹣x)≠f(x),f(﹣x)≠﹣f(x),∴f(x)为非奇非偶函数. 剖析：没有考虑函数的定义域，其解题过程扩大了x的范围. 正解：由1﹣x2≥0,且|x+2|﹣2≠0,故函数f(x)的定义域为[﹣1,0)∪(0,1],则x+2＞0, 所以f(x)=,f(﹣x)=﹣f(x),因此，函数f(x)为奇函数. 点评 定义域关于原点对是函数具备奇偶性的必要条件，因此判断函数奇偶性时必须优先考虑函数的定义域。本题正是考虑了函数的定义域后，才去掉绝对值符号，轻松求解。 五、函数的周期与定义域 由于函数的周期性是一个整体概念，从其定义中可以知道，x是定义域内任一数值时，x+T也必在定义域内，因此在求解函数的周期性问题时，要对其定义域进行考虑。 例5 求函数y=的周期T. 错解：因为y===tanx，故T=π. 剖析：由分母不为0，可求得此函数的定义域为{x|x≠2kπ+，x≠(2k+1)π，k∈Z}，而上面解法得到y=tanx，忽视了x≠(2k+1)π，故函数周期为2π. 点评 若不注意原函数的定义域，在变形后易错误认为函数的最小正周期为π. 六、函数的图象与定义域 在作解析式较复杂的函数的图象时，必须先对其表达式进行化简，在化简的前后必须注意整个变形过程的等价性，所作图象不能真实反映出原函数所具有的性质. 例5 作出函数的图象. 解：函数，其图象如图1所示。 所画图像实质上是错的，因为对函数式变式后没有注意到原函数的定义域，原函数的定义域是。正确图象如图2所示。 点评 较为复杂的函数在作图象时，往往要对函数式变形后再作图象，那么在变形时一定要注意恒等变换，尤其是定义域的变化。 图1 图2 综上所述，函数的定义域是我们在处理函数问题的一个细小而又重要的一个环节，它是我们解题的灵魂，只有对函数的定义引起足够的重视，我们才能避免犯一些解题错误。