不定积分f(x).PPT

§4.2 即 tant=x/a 如图 由x=atant， 令x=a sect , §4.2 则 dx=a sect tant dt 如图 由x=asect， §4.2 即 cost=a/x 则 sect＝x/a §4.3 分部积分法 §4.2 函数乘积的导数公式 分部 积分 公式 一、 分部积分公式 上式两边积分 二、 常见适用类型 一般适用于求解 反三角函数、三角函数、对数函数、幂函数、指数函数 这五类函数形式中某两种的乘积的不定积分。 2、形如∫P(x)lnxdx 、∫P(x)arcsin(x)dx、 ∫P(x)arccos(x)dx、∫P(x)arctan(x)dx、 ∫P(x) arccot(x)dx的积分 3、形如∫eax sinbxdx、∫eax cos(bx)dx 的积分 1、形如∫P(x)eaxdx 、∫P(x)sin(ax)dx、 ∫P(x)cos(ax)dx的积分，其中P(x)为x的多项式。 三、基本步骤 (1)配微分: 将∫f(x)dx 变形为∫u(x)dv(x) (2)套用分部积分公式并且计算、化简。 §4.3 例1 ∫xe-xdx 解：取 u=x， 原式 = -xe-x -∫-e-xdx = -xe-x – e-x + C = -xe-x +∫e-xdx §4.3 = d(-e-x) dv = e-xdx §4.3 例2 ∫xlnxdx = 1/2∫lnxdx2 取u=lnx , = 1/2 x2lnx -1/2∫x2(1/x)dx = 1/2 x2lnx -1/4x2 +C dv=dx2 例3 ∫x2sinxdx =∫x2d(-cosx) = -x2cosx +2∫xcosxdx = -x2cosx + 2xsinx - 2∫sinxdx = -x2cosx + 2xsinx + 2cosx+C §4.3 注意： 两次使用分部积分公式时选择 u及d v 的原则不变 。 = -x2cosx ＋∫cosxdx2 = -x2cosx +2∫xdsinx 例4 ∫ex cosx dx 取 u=ex , = ex sinx - ∫sinxdex = ex sinx + ex cosx -∫ cosx dex 移项整理得 ∫excosxdx =1/2 ex（cosx+sinx）+C 注意: (1) 此类型必须用两次分部积分(u、dv拆分方法一致)，然后解方程。 (2) 不要丢掉C。 = ex sinx + ∫ex dcosx = ∫ exdsinx = ex sinx - ∫ex sinxdx = ex sinx + ex cosx -∫ex cosx dx dv=dsinx 例5 ∫x3sinx2dx 设 t=x2 原式 = ∫x2sinx2 xdx = 1/2∫td(-cost) = 1/2(-tcost+sint)+C = - 1/2x2cosx2 + 1/2sinx2 + C §4.3 = 1/2 ∫tsintdt = 1/2(-tcost+∫costdt) = 1/2 ∫x2sinx2 d x2 第四章 不定积分 求微(导)问题： 已知函数 求导数或微分 求不定积分：已知导数或微分 求原来的函数 §4.1 微分法: 积分法: 互逆运算 §4.1 概念、公式及性质 一、不定积分概念 二、不定积分基本公式 三、不定积分的性质 §4.1 一、不定积分概念 在某区间上，若 F?(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)在该区间上的一个原函数。 1、原函数 如 （sinx)?=cosx (x2)?=2x 则sinx和x2分别为cosx及2x的原函数。 显然，原函数不是唯一的。 问题：若原函数存在,有无统一形式？如何表示？ 如 x2+C 都是2x的原函数， §4.1 sinx+C 都是cosx的原函数. 定理：若F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)+C 为f(x)的全体原函数。 （ 两个含义:(1)F(x)+C为f(x)原函数 (2)f(x)的任一原函数都写作F(x)+C ） 证明 由于F(x)为f(x)的一个原函数， 则F?(x)=f(x) (1)因 (F(x)+C)?=F?(x) 所以F(x)+C为f(x)的原函数 （2）设G(x)为f(x)的任一原函数 则 G?(x)=f(x) 而 F?(x)=f(x) 所以 G?(x)=F?(x) 由微分中值定理推论2 G(x)=F(x)+C 定理得证。 §4.1 =f(x) 2、不定积分 f(x)的原函数全体F(x)+C，称为f(x)的不定积分。 记为∫f(x)dx = F(