不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念.PPT

* * 第四章 不定积分 第一节  不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结 思考题 问题的提出 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，与之相反的问题是： 求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数。 这种逆问题不仅是数学理论本身的需要，而且还因为它出现在许多实际问题之中。 已知曲线上每一点处的切线斜率，求曲线方程等。 一、原函数与不定积分的概念 例 定义1： 是 的原函数. 如果在区间 上， 可导函数 的导函数为 ， 或 ， 即 都有 ， 那么函数 就称为 或 在区间 上的 原函数. 原函数不唯一 如何判断F(x)是f(x)的原函数? 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 如果函数 在区间 内连续， 可导函数 ， 使 ，都有 . 那么在区间 内存在 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 都是 的原函数. 例如所有的基本初等函数在各自的定义域内都连续,它们都有原函数。 结论：若一个函数有原函数，则该函数一定有许多原函数，且任两个原函数仅差一个常数。 定义2： 在区间 内， 函数 的带有任意常数项的原函数 称为 在区间 内的不定积分, . 记为 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 例1 求 解 解 例2 求 ? 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1,2） 所求曲线方程为 即 是 的一个原函数. 几点说明： 1、不定积分的几何意义 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 积分曲线族 2、由不定积分的定义，可知 或 3、由于 的原函数 ， 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 函数 的原函数的图形称为 的积分曲线. 所以 注意:所有的原函数在图象上是相互平移的曲线. 先算不定积分后求导, 则它们相互抵消,反之先微分再不定积分,则抵消后相差一个常数. 在同一点它们有相互平行的切线. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表 每一个导数公式对应一个不定积分公式. 基本积分表 是常数); 简写为 基本积分表 例4 求积分 解 三、 不定积分的性质 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 解 例5 求积分 解 例6 求积分 解 练习 求积分 解 例7 求积分 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 解 所求曲线方程为 例8