专题2遍历有向链法求导数、偏导与微分.PDF

瀚海化繁为简考研精品 邹群老师倾情奉献 化繁为简学习法之 专题 2 遍历有向链法求导数、偏导与微分 内容提要 一元函数与多元函数导数 （偏导）与微分的概念及其求导法则、高阶导 数 （偏导数）、方程或方程组确定的隐函数或参数方程的求导 （偏导）. “化繁为简”导读 本专题的内容是求导数 （偏导）与微分.我们经过总结，发现某 些辅导书中的多元函数求偏导的“链式法则”可以作进一步综合、改进，即推广到所有关于求 ．．．． 导数、偏导与微分的问题，由此诞生出“遍历有向链法”，此方法的特点是将变量之间的关系 用人伦关系作类比，形象地化为一个有向图. 此方法可以概括几乎所有的求微分类的具体计 算的题目.这种跨章节的总结，避免了记忆许多类似的公式及其细节；明确的步骤，也使得 多元函数的变量之间的关系变得异常清晰. 需要说明的是，本专题需要画 “有向链图”，同学们不要觉得这是一种负担，对于简单 一元函数的求导，这样做未必简易，此时可不必用此法，直接算即可.但是对于稍微多一些 变量或是变量之间的关系比较复杂的情形，此方法将大放异彩 ！另外，此方法是多变量分析 （参见本书第三章）的基础，在其它专题中需要多变量分析的题目需要用到它，大家千万不 要轻看它. 一、导数与微分概念简述 导数是什么？一句话，导数就是变化率的极限.导函数公式： dy Dy f (x +Dx）-f (x) f (x ) = = lim = lim . (2.1) dx Dx ®0 Dx Dx ®0 Dx 导函数代入特殊值后即为某点的导数值. 二元函数的偏导，和一元函数的导数在本质上无任何差异.只是当对某个变量求导时， 可令其他变量暂时作为常量 （其公式在此不列出）. 微分是什么？也是一句话，就是在微观 （即微元）的状态下，将一般函数用线性函数近 ．．．．．．．．．．． 似代替.一元函数的线性函数的几何图形是“直线”.二元函数则是“平面”.微分公式： 针对一元函数y = f (x ) ： dy = f (x)dx; (2.2) ¶z ¶z 针对二元函数z = f (x, y ) ：dz = dx + dy. (2.3) ¶x ¶y 所有微分公式，都是从上面的几个“母亲”中诞生出来.关于它们的具体分析，参见专题 4.本专题只讲计算. 注意：导数与微分的基本公式 （参见附录第二章 2 ）大家必须牢牢地记住并熟练，这些 公式法则是 《高等数学》基础中的基础，而且不定积分的基本公式 （参见附录第四章 2 ）也 是从它们而来. 二、遍历有向链法的原理及其操作方法 无论何种函数或方程，它们都是由若干变量根据一定函数关系组合而成，所以每次做导 数 （或微分）题时，必须先搞清这些变量之间的关系.实际上，不光是求导数，在其它如求 ．．．．．．．．．．．．．． 最值、列方程等方面，这也是同样重要的，因为它是多变量分析的基础. 1. 遍历有向链法的原理 由于无论是一元或多元函数的初等函数，都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复 合而成的.根据多变量处理的 “逐一处理”以及 “逐级处理”的原则 （参见本书第三章），我 们将此两个原则与各种相关运算法则图形化，使变量之间的关系用一个“有向链图”来表示， 转载请不要清除作者及网站信息，违者侵犯著作权 瀚海化繁为简考研精品 邹群老师倾情奉献 这样在求导 （或求偏导、微分）的过程中