二、角动量的本征值与本征函数.PPT

* 量子力学 第三章 氢原子和类氢离子 的波函数 * 目录 一、氢原子的波函数 二、核外电子的几率分布 三、轨道角动量算符 * 一、氢原子波函数(1) ? ? ? + ? ? - ? x y z * 一、氢原子波函数(2) * 一、氢原子(3) * 一、氢原子波函数（4） * 一、氢原子波函数(5) * 一、氢原子波函数(6) * 二、角动量的本征值与本征函数（1） 角动量及其算符(1) * 二、角动量的本征值与本征函数（2） 角动量及其算符(2) * 直角坐标与球坐标的变换关系 ? x z 球 坐 标 r ? y 这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, θ, φ) 球坐标 将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得： 将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得： 对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有： 将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得： * 将上面结果 代回原式得： 则角动量算符 在球坐标中的 表达式为： ? x z 球 坐 标 r ? y * 二、角动量的本征值与本征函数（3） 角动量算符对易性 * 角动量z分量的本征值与本征函数(1) 二、角动量的本征值与本征函数（4） * 二、角动量的本征值与本征函数（5） 角动量z分量的本征值与本征函数(2) * 二、角动量的本征值与本征函数（6） * 二、角动量的本征值与本征函数（7） 的共同本征态 * 二、角动量的本征值与本征函数（8） * 二、角动量的本征值与本征函数（9） * 一、角动量的本征值与本征函数（10） 力学量完全集（1） * 一、角动量的本征值与本征函数（11） 力学量完全集（2） * 三、核外电子分布几率(1) * [1，0] [2，0] [3，0] [4，0] 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 r / a0 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Wn l (r) ~ r 的函数关系 （l=0) Rn l (r) 的节点数 n r = n – ? – 1 * [2，1] [3，1] [4，1] 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 r / a0 a0Wn l(r) 0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 Wn l (r) ~ r 的函数关系 (l=1) [n，l] Rn l (r) 的节点数 n r = n – ? – 1 * 三、核外电子分布几率(2) * 三、核外电子分布几率(3) x y z * 三、核外电子分布几率(4) * 例2. ?=1, m=± 1时，W1,±1(θ) = (3/8π)sin2 ? 。在? = π/2时，有最大值。 在? = 0 沿极轴方向（z向）W1,±1 = 0。 例1. ? = 1, m = 0 时，W1,0(?) = {3/4π} cos2?。正好与例2相反，在? = 0时，最大；在? =π/2时，等于零。 z ? z y x ? x y Z * m = -2 m = +2 m = +1 m = -1 m = 0 例3. ? = 2