二阶线性偏微分方程.PPT

数学物理方成的分类 * 回 顾 1、方程的通解和特解 2、数学物理方程（二阶线性偏微分方程）的分类 3、行波法与 d’Alembert 公式 4、 d’Alembert 公式的应用 1.行波法； 2.分离变量法； 3.幂级数解法； 4.格林函数法； 5.积分变换法； 6.保角变换法； 7.变分法； 8.计算机仿真解法； 9.数值计算法 数学物理方程的求解 分离变量理论 考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程： 试确定方程如下形式的解： 将该解代入方程可得： 对于常系数偏微分方程，我们有： 因为X、Y分别是关于x、y的函数，所以λ一定是 一个常数；这样原方程就化为如下两个常微分方程： 对于变系数偏微分方程，一般不能分离变量。 有界弦的自由振动 研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题： 两端固定的弦的自由振动会形成驻波，此时行波法将不再适 用（？）。考虑到驻波的波函数为： 类比驻波波函数，可设定解问题的具有一个可分离 变量的特解为： 将这一特解代入泛定方程可得： 其中 X 和 T 分别为 x 和 t 的函数。 易知λ为常数，故原泛定方程变为： 相应地，边界条件变为： 这样就得到如下常微分方程： 这个常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。 当λ 0时，该方程有非零解，且其解为： 易知当λ= 0时，微分方程的解为： 但边界条件要求 类似地，当λ＞0时，微分方程的解为： 而边界条件要求 关于 T 的方程变为： 其解为： 这样就得到泛定方程满足边界条件的一个特解： 这样的特解有无穷多个，但是其中的每一个并不总 能满足初始条件的要求。 因为泛定方程和边界条件都是线性的，可以把这些 特解叠加起来，并让其满足初始条件： 这样我们就得到如下定解问题 存在如下形式的解： 本征值问题 在求解方程过程中，我们遇到如下问题： 通过讨论我们知道，仅当 λ ＞0，且为某些特定值 时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件 下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函 数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。 解的物理意义 驻波波函数 这样，该定解问题的解可以看作一系列（频率、振幅、位相 各异的）驻波波函数的叠加。所以分离变量法又称为驻波法。各 驻波的振幅、相位由初始条件决定；频率则和初始条件无关，称 为弦的本征频率。 分离变量法处理问题的程序 1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件 是非齐次的，还要对边界条件进行处理。 2、求解常微分方程的本征值问题 3、构造变量分离形式的特解 4、叠加特解，利用初始条件确定叠加系数 *