从可操作动态视觉化基本函数之微分设计谈动态微积分新的学习方法.PDF

從可操作動態視覺化基本函數之微分設計 談動態微積分新的學習方法 謝哲仁 對函數做導數的操作, 可以對某一特定值, 或整體函數為之。 但學生通常視這是兩個不相干 的學習單元。 這種學習落差, 可能來 自於現有課程的解說是靜態, 不容易將函數對某一特定值的 導數, 過渡到整體導數的結果。 從認知心理學的角度, 就是過程 (process) 與完形結果 (prod- uct) 的差異。 另外, 在基本函數, 對某一特定值求導數時, 現有的課程說明或電腦軟體設計, 雖 輔以用圖形上割線來逼近切線, 但缺乏直接以函數動點及利用滑鼠直接操作圖形上的動點來逼 近此特定值的實作經驗, 進而, 形成更有力的心象 (image)。 因此, 利用現有的科技圖形軟體, 來設計學習基本函數的導數, 仍有許多提升的空間。 電子幾何板 (Geometer’s sketchpad, GSP), 是一個以幾何為主的電腦軟體。 可以建構 一般的點、 線、 圓。 物件一旦被建構後, 可以利用滑鼠直接移動物件, 其被建構的幾何關係 (子 母關係) 如線段垂直、 比例將被保留。 學習者因此可以在其建構的物件中, 尋找不變性, 進行不 同數學單元的學習 (林保平, 1996; 謝哲仁, 2000, 2001, 2002a, 2002b)。 利用此特性, 我們可 以建構對函數的學習 (Lin Hsieh, 1993; Hsieh, 1993, 2002; 謝哲仁、 黃玉玲, 2002), 及 更富挑戰性的 — 函數導數的學習。 首先我們在 GSP 上, 設定參數 a, b, c 及 h, 在 x 軸上取一動點 x, y 軸上我們可建立 2 一些基本函數, 例如圖一是 y = f (x) = ax + bx + c, 其中 a, b, c 是可改變的參數, 以線 段長短表示大小, 原點的左右方向表示負、 正值。 在 x 軸上, 利用向量的方式取點 x + h, 這 時利用比率計算的結果, 做出 f (x), f (x + h), 連接 (x, f (x)), (x + h, f (x + h)) 兩點的直 線, 使之成為二次函數的割線, 並取割線的斜率值 ∆y , 我們令 ∆x = 1, 以 ∆y 的高度來表示 ∆x 在 (x + h, f (x + h)) 點的割線斜率值。 當使用者用滑鼠操作 h 值, 並使 h 值趨近於 0 時, 便能察覺割線是如何逼近切線的, 且 ∆y 的高度就是切線斜率值, 也就是在某一特定點 x 的導 數 (如圖二)。 這也就是函數 f 在 x 的導數 lim∆h→0 f (x+∆h)−f (x) 可直接操作的動態視覺化 ∆h 的設計。 這時我們再移動 x, 把在不同的 x 值時的切線斜率值蒐集, 變成為圖三新的直線物件 79 80 數學傳播 27 卷 3 期 民 92 年 9 月 y = 2ax 的圖形, 這也就是函數 f 的導數物件 d f (x) 可直接操作的動態視覺化的設計。 函數 dx 物件的導數結果也是一新的函數, 我們先以點所成的集合圖形方式來表示, 之後, 我們可以再改 變參數 a, 而其對應的函數圖形及導數也隨著改變如圖四。 而圖五、 圖六、 圖七則是基本函數指 x x 數函數 a 、 對數函數 log(x) 及三角函數 sin(x) 等函數求導數的結果, 比較特別的是 e , 其 微分的結果就是本身, 這點我們也可以從指數函數 ax