任务10-1：不定积分的第一换元法.PPT

3.4.2 定积分的换元法 这个公式叫做定积分的换元公式 应用换元公式时应注意: 求出 ) ( )] ( [ t t f j j  的一个原函数 ) ( t F 后，不 必象计算不定积分那样再要把 ) ( t F 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入 ) ( t F 然后相减就行了 . （2） （1） 用 ) ( t x j = 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也 相应的改变 . 例3.41 计算 解 上例的解法利用第一类换元法，由于未引入新的变量，因而积分限不需改变. 例3.42 计算 解 例3.43 计算 解 令 上例的解法利用第二类换元法，由于引入了新的变量，因而积分限必须换成新积分变量对应的积分限. 例3.44 计算 解 令 证 奇函数 例3.46计算 解 原式 偶函数 项目10积分的换元法 任务10-1：不定积分的第一换元法 3.4 积分的换元法 3.4.1 不定积分的换元法 3.4.1.1 第一换元法 利用基本积分公式与直接积分法，所能计算的积分非常有限，因此有必要寻找更有效的积分方法.本节将介绍换元积分法，简称换元法. ， 定理3.2 设 , 具有连续导数， 则 证明 由于 由复合函数求导法则，得 因此， 是 的一个原函数，从而 在求积分 时，如何应用定理？ 如果函数 可以化为 的形式，那么 这种积分方法称为第一类换元积分法，应用时关键一步在于将g(x)dx湊成 ，因而这种积分法亦称为凑微分法。 例3.21 计算 解 被积函数 是一个复合函数， 可令 ， 而 ，则 一般，不需写出中间变量的代换过程，直接通过凑微分计算. 例3.22 计算 解 原式 = 例3.23 计算 解 例3.24 计算 解 例3.25 计算 解 例3.26 计算 解 例3.27 计算 解 例3.28 计算 解 例3.29 计算 解 类似地可得 例3.30 计算 解 例3.31 计算 解 例3.32 计算 解 类似的可得 例3.33 计算 解 （使用了三角函数恒等变形） 例3.34 计算 解 例3.35 计算 解 由于 所以 任务10-2：不定积分的第二换元法 3.4.1.2 第二换元法 下面介绍第二类换元积分法 则有换元公式 定理 第二类积分换元公式 （2） 例3.36 计算 解 设 回代 例3.37 计算 解 设 例3.38 计算 解 所求积分化为 根据 便有 于是所求积分为 例3.39 计算 解 令 其中 例3.40 计算 解 令 其中 第二类换元积分法常用于被积函数中含有根式的情况，所作变量代换小结如下： 2.被积函数中含根式 , 则 令 结果注意回代 1.被积函数中含根式 , 则 令 ； 3.被积函数中含根式 , 则 令 4.被积函数中含根式 , 则 令 任务10-3：定积分的换元法