余弦的导函数证明.PPT

(二) 隱微分法 因為 ， 又 且 ，所以有 化簡得 不論由(*)或(**) 都得到過 P 的切線之斜率為 ， 故過 P 的切線方程式為 。 例題 2. 若空氣被注入一個球狀的氣球中，使其體積的增加速度 為每秒 400立方公分，試求在氣球的半徑為100公分時，其半徑增加 的速度。 解： 球體積公式為 ，其中 與 都是 的函數。 對 求微分 ， 因此當 時， 半徑增加的數度為 (公分/秒) 。 例題 4. Let , find 解： ，因此 3.2.4 Chain Rule 鏈鎖律–求合成函數的導數 設 在 處可微分， 在 處可微分，則它們的合成函數 在 處可微分，而且 。 證明： 已知 在 處可微分，因此 由於 在 處可微， 因此 在 處連續。 因此當 時， 。 此處我們假設存在一個 使得 。 接續下頁 令 則當 時 設 則Chain Rule 也可表示成 例題 5. Find (1) (2) (3) 解： (1) Let by Chain Rule ，where Hence 接續下頁 (2) Let 。Then (3) 除了(1)(2)用 外，亦可如下直接用Chain Rule 3.2.5 正、餘弦的導函數 證明： 最後的 “ ” 是由 (1) (2) 和 0 得來的。 因此 。 接續下頁 或由 知 3.2.6正、餘切的導函數 證明： 例題 6. Find for 解： 因為 所以 3.2.7 正、餘割的導函數 證明： 例題 7. Find for 解： 用 Product Rule 例題 5. Differentiate 解： 由商法則知 3.2.8定理 ：若 則由 Chain Rule 知 是可微函數， (1) (2) (3) (4) (5) (6) 例題 6. Find (1) (2) (3) 解： (1) (2) 接續下頁 (3) 令 則 3.3.1 Differential and?Linear Approximation 微分與線性估計 設函數 在 處可微，則 在 處的微分定義為 ，記作 。在一般情形下， 也常寫成 。 設函數 自變數 是可微分函數。在許多應用中， 我們欲知當 作微小變化時，因變數 的對應變化情形。 若 作了 的變化量，此時 量 3.3 The Differentials and Newtons 微分與牛頓迭代求根法 Recursion Formula 回顧導數的定義 知當 時， 。 換句話說，當 非常小時， 在 處的切線 與 的函數圖形非常接近(參考圖3.6)， 因此 在 附近的函數值便可用 來估計，這個方法稱為線性估計。 圖 3.6 例題 1. 令 ，試求當 且 時 之值，並比較 與 。 解： ，因此 因此 兩者差距很小。 例題 2. 線性估計 ( 四捨五入至小數第六位 )。 解： 令 ，取 ，則 。 取 ，則因 ，所以 ， 其中 ， 因此 ； 。 3.3.2 微分公式 設 是常數， g f ， 是可微分函數，則 (1) 或 (2) 或 (3) 或 (4) 或 (5) 或 (6) 或 在求方程式 的實根時，一般都是設法將 分解成 以下介紹一個簡單又有效的方法─牛頓迭代求根法。 一次式或二次式的乘積。 事實上，許多方程式是無法或極難分解成一、二次式的乘積的， 這時只好求近似根， 3.3.3 Newtons Recursion Formula 牛頓迭代求根法 設 是可微分函數 (1) 首先利用勘根定理估測一個值 。 (2) 找過點 的切線 。 (3) 設 在 軸的截點為 ，即 。 (4) 對於 求過點 的切線 ，找出 在 軸上的截點 。 圖 3.7 例題３. 利用牛頓迭代法 (1)求 的一實根(誤差 )。 解： 因為 由勘根定理知 在 一實根 (1，2)內有 。 因為 ，令 ，由牛頓迭代法知 。 其中 ，所以 。繼續做，求出 而 因此我們可以說 1.1795 的一個近似根。 是 例題 4. 估計 至小數第六位。 解： 不難看出 是 的一根。由 及迭 代法 知 若取 得 因此 。 。 例題 5. 求 在區間 內的根 ( 誤差 )。 解： 由於 ，因此 。 又由於 ， ，