例求函数的导数解.PPT

五、可导与连续的关系 内容小结 思考与练习 * 高等数学电子教案 第三章　导数与微分 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 英国数学家 Newton 第一节 导数的概念 高等数学电子教案 第三章　导数与微分 1. 变速直线运动的瞬时速度 设位移函数为 则 到 的平均速度为 在 时刻的瞬时速度为 取极限得 一、实践中的变化率问题 求 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放 设曲线上有一点M，在点M外任取C上一点N，作割线MN， 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 切线的定义： 求MT. 关键是求出 取极限得 共性: 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 计算过程: 先求平均变化率, 然后取极限, 得到瞬时变化率. 定义 二、导数定义 其它形式 即 如果定义中的极限不存在，则称函数在该点不可导，或导数不存在。 ★ ★ 关于导数的说明： ★ 三、由定义求导数 步骤: 例. 求函数 (C 为常数) 的导数. 解: 例 . 求函数 解: 说明： 对一般幂函数 ( 为常数) （见P90-例10） 例. 求函数 的导数. 解: 则 即 例. 解 （P70，第3(2)题） 例. 解 ★ 2.右导数: 单侧导数 1.左导数: ★ 四、导数的几何意义 切线方程为 法线方程为 例. 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 注意: 该定理的逆定理不成立. 例. 解 例. 解 , 问 a 取何值时, 存在 。 解: 故 时 例. 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 2. 增量比的极限; 切线的斜率; 1. 设 存在 , 则 2. 已知 则 3. 若 时, 恒有 问 是否在 可导? 解: 由题设 由夹挤准则 故 在 可导, 且