六、线型函数与二次函数.DOC

五、線型函數與二次函數 5-1 函數的概念 在國中的課程裡，我們學過代數式的值是由算式中的文字符號所代表的數來決定。例如：當x = 2、3時， 2x5的值分別為225=9、235=11； 1的值分別為41=15、41=35。 如果令y為某一個x的多項式，那麼給定一個x值就會有一個y值。也就是x和y都代表變量，而這兩個變量之間存在某種對應關係。事實上，我們發現給定一個x值，都恰有一個y值與它對應。 像這種x與y的對應關係，在數學上稱為「y是x的函數」或簡稱為「函數」（function）。 因此對於一個函數而言，我們知道： 任意給定的一個x值，都恰有一個（有一個且只有一個）y值與它對應。 我們常將x的函數記作f(x)(讀作「f of x」)，且以y=f(x)表示此一函數或對應關係。為了方便，我們也可以用其它文字符號來表示x的函數，如g(x)、h(x)、…等。 就一般情形而言，當x值變化時，y值可能隨著變化。所以，我們稱x為此函數的自變數，而y稱為應變數。 當變x等於a時，我們稱其所對應的y值為這個函數在x＝a時的函數值，且記作f(a)。最常見的函數是由代數式所定義出的數量關係，如y=、g(x)=1、…。注意f(x)=、y=和y=f(x)=這些數學式都是同一個函數的不同記法。對於函數g(x)=1而言，如果我們要找x=4所對應的值（即g(4)）時，我們只需把4代入g的定義公式（也就是多項式1）裡，並算出1=2161=31即可。因此g(4)=31。同理，我們可把任意多項式當作一個函數，並稱它為多項式函數。 【類題練習1】(1) 設f(x)=。求f(0)和f()的值。 (2) 設。求f(5)的值。 當以數學式來描述函數時，那麼式子中的數學運算必須有意義。以 f(x)=為例，我們知道當x =1時，數學式的分母為0，因此沒有 它所對應的值。所以自變x不可以為1；也就是說，當x =1時，函數f(x)沒有意義（或稱為沒有定義）；明顯，函數f(x)在x等於1以外的數，都有其對應的值。又如g(x) =，對於任何大於1或等於1的數，都有其所對應的值，而且x也只有等於這些數時，g(x)才有定義。 當自變數x不論為何值時，函數值y永遠不變，像這樣的函數稱為常數函數(「常」是永恆的意思)，並以f(x)=c或y=c的形式表示，其中c是一個確定的數（或稱為常數），這是最簡單的函數。 接著來看看另外二種較為簡單的函數。首先，令a、b、c為三個常數，並且a≠0。我們稱形如f(x)=axb的函數為一次函數，並稱ax為f(x)的一次項，a為x的係數，而b為f(x)的常數項。我們稱形如f(x)=bxc的函數為二次函數並稱為f(x)的二次項，a為二次項的係數，bx為一次項，b為一次項的係數，而c為f(x)的常數項。 【類題練習2】(1) 設f(x) =，x項的係數為 ，常數項為 。 (2) 設f(x)=，的係數為 ，x項的係數為 ，常數項為 。 是不是所有的函數都可以用代數式來表示呢？我們以民國94年每個月份與它的天數（見下表），來說明另一種數。 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天數 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 如果想要找一個簡單的代數式，使得它在的值等於相對應的值，是一件不容易的工作。像這樣的函數，與其找出這個代數式，還不如用表列的方式來陳述月份與對應天數之間的關係方便。 【動動腦】在上表中，月份是天數的函數嗎？ 【家庭作業】 1. 設f(x) =，求f(2)的值。 2. 設，求f(5)的值。 3. 設f(x) = 34x5，x項的係數為 ，常數項為 。 4. 設f(x) =，的係數為 ， x項的係數為 ，常數項為 。 5-2 線型函數 在坐標平面上，描繪滿足y=f(x)函數關係的所有點(x,f(x))所得到的圖形，就稱為函數f(x)的圖形。我們如何描繪一次函數f(x)的圖形呢？首先將y=axb改寫成axyb=0的形式，其中a、b分別為給定的數(常數)而且a≠0。因此在圖形上的點，其x坐標與y坐標滿足二元一次方程式axyb=0。所以我們可使用描繪二元一次方程式解的圖形所用的方法來畫y=axb的圖形。當然我們也可用列表再描點的方式來畫圖。 【範例1】在坐標平面上畫出函數f(x)＝的圖形。 【解】 這個函數可以記為y=f(x)=因此yx=0。 x 2 0 2 y 1 0 1 因為二元一次方程式解的圖形為直線，只要找此二元一次方程式的兩個相異解。函數的圖形為通過( 0, 0)及( 2,1)的直線（如右）： 對於任何一個二元一次方程式axbyc=0，其中b0，我們都可以把它