函数与基本初等函数第一节.DOC

第1讲　函数及其表示 【】 1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用． 3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 【复习指导】 正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用． 基础梳理 1．函数的基本概念 (1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，xA. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，xA中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域．值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据． 2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 3．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 一个方法 求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法： 若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 两个防范 (1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素 函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f. 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)． A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析　3x＋1＞1， f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0. 答案　A 2．(2011·江西)若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)． A. B. C. D．(0，＋∞) 解析　由log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1， 解得－＜x＜0. 答案　A 3．下列各对函数中，表示同一函数的是(　　)． A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x B．f(x)＝lg，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1) C．f(u)＝ ，g(v)＝ D．f(x)＝()2，g(x)＝ 答案　C 4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)． A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析　根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝.故选B. 答案　B 5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 解析　任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图象没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点． 任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有交点，则b在函数y＝f(x)的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内． 答案　[－3,0][2,3]　[1,5]　[1,2)(4,5] 　　 【例1】求下列函数的定义域： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝. [审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得． 解　(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须 解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须且只须 即解得：－1x1. 因此f(x)的定义域为(－1,1)． 求函数定义域的主要依据是 (1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，