反函数教学中的几个误区.DOC

反函数教学中的若干误区 反函数是函数研究中的一个重要内容，是教学的重点和难点，在反函数教学中稍有不慎 就会走入误区，有些观点甚至在一些辅导资料中以谬传谬，造成误导。 误区之一 求反函数时忽视求原函数的值域。 众所周知，两个函数若定义域不同，即使对应法则相同，也不是相同的函数。原函数的 值域是反函数的定义域，若忽视了求原函数的值域，则解得的结果是不一定正确的。 例1 求函数y=的反函数 错解 由y=得 又 所求反函数为 剖析 原函数的值域为，从而反函数的定义域为而上述解法所得的反函 数的定义域为[0，2]，显然不是原函数的反函数。 误区之二 求反函数时忽视了原函数的定义域。 有些函数其本身不存在反函数，但在其单调区间内反函数存在，这类函数在求反函数时， 除注意其值域外，同时也要注意其定义域，根据其定义域对求得的x合理取舍。 例2 求函数 的反函数。 错解 函数的值域为y [2 , 6], 又，即 所求的反函数为y=2 ± (2≤x≤6) 剖析 上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x进行合理取舍,从而得 出了一个非 函数表达式。 误区之三 混淆复合函数的反函数与反函数的复合函数两个不同的概念。 函数y=[φ(x)]的反函数指的是复合函数(x)=[φ(x)]的反函g-1(x);而函数y=-1[ φ (x)] 指的是y=(x)的反函数y=–1(x)中的x用φ (x)代替得到的解析式，即的反函数的 复合函数，这两个函数一般是不同的。 例3 已知函数(x)=，求(x+1) 的反函数。 错解 由(x)= 可求得其反函数为–1(x)= x+ 从而所求的反函数为 –1(x+1)= (x+1)+= x+1 剖析 上面解法的错误是误认为反函数的复合函数–1(x+1)是复合函数的反函 数。事实上，函数的映射法则已不再是“”了，当然“”不是它的逆映 射，正确的解法是： 令g(x) = (x+1)= 2 (x+1) = 2 x +1 解 得g -1(x)= 即的反函数为g -1(x)= 已知求。 错解 剖析 错误原因是把求反函数的复合函数，理解为求复合函数的反 函数。 例5 已知(x+1)=, 求–1(x). 错解 令y=(x+1)=2x-1, 从而解得–1(x) = x+ 剖析 上面解法中把复合函数的反函数误认为–1(x)，正确解法为： 从中解得， 从而可求得. 误区之四 盲目利用反函数求函数值域. 在反函数存在为前提下, 某些函数运用反函数法求函数的值域确是一种好方法,但通过反 函数定义域求原函数值域，逻辑上属于循环解答。习惯上是将反函数的解析式有意义的x的 取值范围作为原函数的值域。运用这种方法求函数值域只有在等价变形的前提下才是真实可 靠的,否则是不可靠的. 例6 求函数的值域. 错解 由函数可求得反函数为，其反函数定义域为 ,从而原函数的值域为 剖析 由于可求得原函数的值域为()，而不是,造成 错误的原因是求解x时, 用代替了原函数的定义域,这是一种不等价的变形. 误区之五 认为互为反函数的两图象如果有公共点, 则公共点必在直线上. 原函数的图象与反函数的图象关于直线 对称， 原函数的图象与直线 的 交点必是两函数图象的公共点 ， 但两函数图象的公共点不一定都在直线上。认为 “原函数图象与反函数图象的公共点必在直线上”这个错误的观点,不仅学生在解题时 经常出现,而且在一些参考资料中也时常见到。 .例7 已知函数(x)= (x+1) 2 –2 x[ -2 ,+∞]， 解方程(x)=-1(x)。 分析 直接求得-1(x),再解方程(x)=-1(x) 较为繁琐, 学生容易想到方程(x)=-1(x) 的解是函数的图象与直线交点的横坐标,且满足的定义域. 解 令 消去 . 解方程的解为 用同样的方法再解下面一例：已知函数解方程。 解 令 消去得 解得 ， 又与的公共定义域为[0，] ，从而方程的解为 但另一方面，若我们先求=（），再解方程 = （ 0） 化简得 解得方程的解为 ，此方程有三个根。 上面解法在解第二例时为什么会出错呢？问题的关键是错误地认为互为反函数的两个图 象其公共点一定都在直线上，其实不然，这与函数的增减性有关，我们可得 以下命题： 设是增函数，其反函数为，若这两个函数的图象有公共点， 则公共点必在直线上。 设是减函数，则函数与的图象的公共点不一定都 在直线上。 命题（1）的证明： 设函数的定义域为A，值域为B，则函数的定义域为B，值域为A， 由于在A上是增函数，易证在B上也是增函数，任取，则有 ，故 若a=b，则命题得证。 若a≠b，设ab, 则由及得即 又是增函数，所以，这与相矛盾，所以，同理可证得，从而 有即，故有=。 命