反函数求导定理的变体-重庆工商大学学术期刊社.PDF

第３２卷第７期 重庆工商大学学报（自然科学版） ２０１５年７月 Ｖｏｌ３２　 ＮＯ．７　 　 　 　 　 　 　 　 Ｊ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｕｎｉｖ（Ｎａｔ Ｓｃｉ Ｅｄ）　 　 　 　 　 　 　 　 Ｊｕｌ．２０１５ － ｄｏｉ：１０．１６０５５／ ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２ ０５８Ｘ．２０１５．０００７．０１３ 反函数求导定理的变体∗ 曾小 林 （重庆工商大学 数学与统计学院，重庆４０００６７） 　 　 摘　 要：首先针对函数在区间端点的单侧导数给出反函数相应单侧导数的求导公式；然后将反函数求 导定理中的可导性条件“函数在某点可导且导数非零”分别换为“函数在某点可导且导数为０”与“函数在某 点有无穷导数”，得到反函数求导定理的各种变体． 关键词：反函数；求导公式；单侧导数 － － － 中图分类号：Ｏ１７２．１　 　 　 文献标志码：Ａ　 　 　 文章编号：１６７２ ０５８Ｘ（２０１５）０７ ００５２ ０４ 在微积分中，函数的导数定义与求导法则是微分学的重点知识，不少文献对此进行了探讨，如文献［１］ 介绍了用导数求极限的方法，文献［２］结合极限、洛必达法则等辨析了导数的概念． 反函数是微积分中另一 个基础概念，而反函数的求导定理是一元函数求导公式的重要组成部分． 相比于其他求导法则，反函数的求 导定理更深刻，它的证明除了使用导数的定义之外，还依赖于反函数的性质，尤其是反函数连续性定理，因 此可以说它是数学分析中一个比较深刻的结论．有文献对反函数求导定理的条件可否减弱进行了仔细的分 ［３］ 析 ．此处从另一角度，即某些特殊情形入手，对此定理进行讨论，目的在于拓广反函数求导定理的使用范 围，进一步深化对反函数求导定理的认识． 在讨论反函数求导定理之前，首先对反函数的概念进行简单的回顾． ＝ 定义１　 设ｙ ｆ （ｘ）是从定义域Ｄ（ｆ ）到值域 Ｚ（ｆ ）的一一对应函数，则对每个 ｙ ∈Ｚ（ｆ ），有唯一的 ＝ ＝ ＝ ＝ ｘ∈Ｄ（ｆ ）使得ｆ（ｘ） ｙ． 记该对应法则确定的函数为ｘ φ（ｙ），称为ｙ ｆ（ｘ）的反函数，此时ｙ ｆ （ｘ）称为直接 ＝ ＝ 函数． 显然Ｄ（φ） Ｚ（ｆ ），Ｚ（φ） Ｄ（ｆ ）． 关于反函数的下列事实将在文中用到：严格单调函数必然有反函数，并且反函数与直接函数具有相同 的单调性，更深入地，有下列反函数连续性定理： ［４］ ＝ 定理１ 　 设ｙ ｆ（ｘ）在一个区间Ｉ 上严格单调增加（或减少），并且在其中每点连续，那么它的值域ｘ －１ ＝ ＝ ＝ ＝ Ｚ（ｆ ） Ｉ ｛ｙ｜ｙ ｆ（ｘ），ｘ∈Ｉ ｝也是一个区间，且它的反函ｘ ｆ （ｙ）在Ｉ 上严格单调增加（相应地，减少）且ｙ ｘ ｙ 连续． 为了介绍文中的主要结果，先回忆反函数求导定理如下： ［５］ ＝ 定理２ 　 设函数 ｙ ｆ （ｘ）在某一区间上是严格单调的连续函数， 在区间内一点 ｘ 处可导，且 ０