反导数与不定积分.PPT

學習提示 切記可利用微分來驗算反微分的問題。譬如在範例 4(b)中，若要檢查 是否為正確的反導數，將其微分可得 P.6-5 第六章　積分與其應用 檢查站 4 求下列不定積分。 P.6-5 第六章　積分與其應用 求反導數 運用五個基本積分法則，就可求出任意多項式函數的積分，如同下例所示。 P.6-5 第六章　積分與其應用 範例 5　多項式函數的積分 求下列不定積分。 a. ? (x + 2) dx b. ? (3x4 － 5x2 + x) dx P.6-6 第六章　積分與其應用 範例 5　多項式函數的積分 （解） 通常省略解答的第二行。 P.6-6 第六章　積分與其應用 範例 5　多項式函數的積分 （解） b. 使用基本積分法則來求積分。 P.6-6 第六章　積分與其應用 檢查站 5 求下列不定積分。 a. ? (x + 4) dx b. ? (4x3 － 5x + 2) dx P.6-6 第六章　積分與其應用 學習提示 在求商的不定積分時，切記不可將分子與分母的函數個別積分。譬如，在範例 6 中 不等於 P.6-6 第六章　積分與其應用 範例 6　積分前先改寫 求　　　　。 P.6-6 第六章　積分與其應用 範例 6　積分前先改寫 （解） 首先將積分函數中的商改寫為分項和，再改寫每一項的乘冪為分數形式。 P.6-6 第六章　積分與其應用 範例 6 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(a)。 P.6-6 第六章　積分與其應用 代數技巧 檢查站 6 求　　　　。 P.6-6 第六章　積分與其應用 特解 方程式y = ? f (x) dx 有許多解，每個解之間也只有常數的不同。這說明 f 的任意兩個反導數的圖形是互為垂直平移的圖形。譬如，圖 6.1 為多個不同 C 值的反導數圖形，反導數的形式為 y = F(x) = ? (3x2 － 1) dx = x3 － x + C 每一個反導數都是微分方程 dy/dx ＝ 3x2 － 1 的解。一個 x、y 的微分方程 (differential equation) 中包含 x、y 和 y 的導數，故dy/dx ＝ 3x2 － 1 的通解 (general solution) 為 F(x) ＝ x3 － x ＋ C。 P.6-6~6-7 第六章　積分與其應用 特解 在許多積分的應用中，足夠的給定條件可求出特解 (particular solution)，藉由知道某個 x 的 F(x) 值就行 [這條件稱為起始條件(initial condition)]。譬如在圖 6.1 中，只有一曲線通過點 (2, 4)，因此，用下列的條件就能找出這一條曲線。 F (x) = x3 － x + C 通解 F (2) = 4 起始條件 將起始條件代入通解，得 F(2) ＝ 23 － 2 ＋ C ＝ 4，即 C ＝ －2，所以特解為 F (x) = x3 － x － 2 特解 P.6-7 第六章　積分與其應用 特解 P.6-7 圖6.1 第六章　積分與其應用 範例 7　求特解 求 F? (x) ＝ 2x － 2 的通解，再求滿足起始條件 F(1) ＝ 2 的特解。 P.6-7 第六章　積分與其應用 範例 7　求特解 （解） 首先以積分求通解。 F(x) = (2x － 2) dx 對 F? (x) 積分得 F(x) = x2 － 2x + C 通解 利用起始條件 F(1) ＝ 2 可得 F(1) ＝ 12 － 2(1) ＋ C ＝ 2 即 C ＝ 3。所以特解為 F(x) = x2 － 2x + 3 特解 P.6-7 第六章　積分與其應用 範例 7　求特解 （解） 此解如圖 6.2 所示，其中每條灰色曲線為方程式 F? (x) ＝ 2x － 2的某一解， 而黑色曲線是唯一通過點 ( 1 , 2 ) 的解， 也就是F (x) ＝ x2 － 2x ＋ 3 是滿足起始條件的唯一解。 P.6-7 第六章　積分與其應用 範例 7　求特解 （解） P.6-7 圖6.2 第六章　積分與其應用 檢查站 7 求 F? (x) ＝ 4x ＋ 2 的通解，再求滿足起始條件 F(1) ＝ 8 的特解。 P.6-7 第六章　積分與其應用 應用 在第三章中，自由落體的位置函數 (不計空氣阻力) 為 s(t) = －16t2 + v0t + s0 其中 s(t) 為高度 (呎) 且 t 為時間 (秒)。在下個例子中，我們將以積分技巧推導此函數。 P.6-7~6-8 第六章　積分與其應用 範例 8：決策－推導位置函數 從 80 呎高處將一球以每秒 64 呎的速度向上投擲 (如圖 6.3 所示)