圆锥内定点至锥表面垂点轨迹-哈尔滨工业大学学报.PDF

第４８卷　 第７期 哈　 尔　 滨　 工　 业　 大　 学　 学　 报 Ｖｏｌ４８ Ｎｏ７ 　 　 ２０ １６年７月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩＮ ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｊｕｌ． ２０１６ 　 　 　 　 　 　 ｄｏｉ：１０．１１９１８／ ｊ．ｉｓｓｎ．０３６７⁃６２３４．２０１６．０７．０１１ 圆锥内定点至锥表面垂点轨迹 曲焱炎，高　 岱，宫　 娜 （哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 １５０００１） 摘　 要：为解决实际工程中遇到的圆锥曲线问题，研究圆锥内任意点至所有素线垂足轨迹的方程． 根据圆锥形成的性质和向 量几何的理论，如果点至素线的方向向量垂直素线方向向量，那么二者向量的点积等于零，由此求出垂足参数表达式． 推算并 化简垂足轨迹点参数方程，通过极坐标与直角坐标的转换，得出垂足点轨迹为圆锥与球偏交得的两曲面交线以及交线的笛卡 尔坐标表达式． 结果表明，若以圆锥内一点与圆锥顶点连线为直径作球，则球面与圆锥素线交点和圆锥内定点连线垂直于素 线；研究轨迹线的投影性质表明，其正面投影为抛物线，水平投影为闭合的二次曲线． 关键词：圆锥；素线；方向向量；垂足轨迹；球偏交圆锥；交线 － － － 中图分类号：ＴＨ１２６ 文献标志码：Ａ 文章编号：０３６７ ６２３４（２０１６）０７ ００７３ ０３ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｔｈｅ ｐｅｄａｌｓ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｏｎ ｃｏｎｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｏｆ ｉｎｓｉｄｅ ｐｏｉｎｔ ｔｏ ｅｌｅｍｅｎｔ ｌｉｎｅ ＱÜ Ｙａｎｙａｎ，ＧＡＯ Ｄａｉ，ＧＯＮＧ Ｎａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５０００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐｅｄａｌｓ ｏｆ ａｎ ｉｎｓｉｄｅ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｐｏｉｎｔ ｔｏ ａｌｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ａ ｃｏｎｅ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｃｏｎｅ ｃｕｒｖｅ ｉｎ ａｃｔｕａｌ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ａ ｃｏｎｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ｗｈｅｎｔｈｅｖｅｃｔｏｒｆｒｏｍａｎｉｎｓｉｄｅａｒｂｉｔｒａｒｙｐｏｉｎｔｔｏａｎｅｌｅｍｅｎｔｌｉｎｅｉｓｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｔｏｔｈｅｖｅｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈａｔ ｅｌｅｍｅｎｔ ｌｉｎｅ，ｔｈｅｉｒ ｓｃａｌａｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｈａｓ ｔｏ ｂｅ ｚｅｒｏ，ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｅｄａｌｓ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ． Ａｆｔｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ，ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｃｋ ｐｏｉｎｔｓ ｓｈｏｗｓ ａｎ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ ｔｒａｃｋ ｌｉｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｅ ａｎｄ ａｎｏｆｆｓｅｔ ｓｐｈｅｒｅ．ＡｎｄｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｉｎｔｈｅＤｅｓｃａｒｔｅｓｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｉｓｇｉｖｅｎ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ａｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈａｔ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｄｅｆｉｎｅｓ ａ ｓｐｈｅｒｅ ｂｙ ａ ｄｉａｍｅｔｅｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｕｍｍｉｔ ｔｏ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃ