主要数学概要_旋转跟踪.doc

第六讲 旋转与轨迹 本讲3单元的内容分别是：图形旋转，线动成面，面动成体。 图形旋转是解决几何题目的有效方法之一，在解决几何题目时，旋转的方法满足以下三个条件：(1)通过旋转将不规则图形转化为规则图形，(2)边相等，(3)角互补或互余。在看到满足这些条件的几何图形时，要能想到“旋转”，这是一种思路，也是一种境界。 轨迹：点动成线，线动成面，面动成体。 601、【第一单元1】如图所示的四边形的面积等于多少？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】此题不用旋转也能做，如图一，但是，要学好看到等边、直角，思考如何旋转。 如图二(△OAB绕O逆时针旋转90度)、图三(△OAC绕O顺时针旋转90度)。图三，12×12＝144。 【答案】144。 602、【第一单元2】如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，以AC为一边向△ABC外作正方形，中心为O，求阴影面积。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】不旋转也能做，×5×3+×()＝16。 但是，要学好旋转，△OAB绕O逆时针旋转90度，如图。 直角△OBB′为所求（BCB′在一条直线上，证明很简单）。 一个等腰直角三角形，斜边长度已知，面积是可求的。 5+3＝8，×8×4＝16。 【答案】16。 603、【第一单元3】如图，已知AB＝AE＝4cm，BC＝DC，∠BAE＝∠BCD＝90°，AC＝10cm，则＝___。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】△ABC绕C逆时针旋转90度，△ABC绕A顺时针旋转90度，都转到AC的下方，在AC的下方形成正方形，如图。也可以都转到AC的上方形成正方形。 面积：10×10÷2＝50。 【答案】50。 604、【第一单元4】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内做直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O，已知AE、BE的长分别是3cm、5cm，求△OBE的面积。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】提供两种解法。 解法一、悬空＝整体－空白，旋转 =[] ＝＝17； △ABE好求，但△ADE不好求，将△ADE绕A点顺时针旋转90度，求变成了求直角梯形AEBE′的面积，(3+5)×3÷2＝12。 ×(17－12)＝2.5。 解法二、弦图 看到了正方形、直角三角形，想到弦图，做出其他三个直角三角形。 △DBE底BE＝5，高等于弦图中心正方形的边长,5-3＝2。 ＝×(×5×2)＝2.5。 【答案】2.5。 605、【学案1】下图△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，点D在BC边上，BD:DC＝2:3。当△ABC的面积是50时，△ADE的面积是多少？ 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】看到等腰，看到120°，想到旋转。 将△ABC、△ADE绕A点旋转2次（120°、240°），连接D、E、D′、E′、D″、E″构成正六边形。 ＝50×3＝150。 ，但是，正六边形有些点悬空，面积不好求，可以求△DD′D″的面积，＝，这样，＝。 ＝＝＝＝42；＝×42＝14。 此处用到了鸟头模型，2×3：5×5。 本题中的正六边形是需要证明的：∠CAD′＝∠BAD， ∠EAD′＝∠EAC+∠CAD′＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC－∠DAE ＝120°－60°＝60°，所以，△EAD′是正三角形。 【答案】14。 606、【补充1】如图，在长方形中，已知2个三角形的面积是2和3，求？处的面积。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】如图做辅助线。 第一步：求出来3（蝴蝶两翼）； 第二步：求出来4.5（面积比为2：3）； 第三步：长方形一半：3+4.5＝7.5，？＝7.5－2＝5.5。 【答案】5.5。 607、【第二单元3】直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，∠ABC＝60°，此时BC＝5厘米。以点B为中心，将△ABC顺时针旋转120°，点A、C到达E、D位置。求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积（取3）。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】线动成面。将△EBD逆时针旋转回来，阴影为2个扇形差。＝75＝75。 【答案】75平方厘米。 608、【第二单元4】如图，ABCD是一个长为4、宽为3、对角线长为5的长方形，它绕C点顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】DC：＝4； BC：＝2.25； AD：(1)旋转到(2)，＝2.25； AB：(3)旋转到(4)，＝4。 发现，对边扫过的面积相等。 【答案】AB：4，BC：2.25，CD：4，DA：2.25。 609、【学案2】如图△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C点为圆心，把△ABC顺时针旋转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是_____平方米。 【难度级别】★★★★☆ 【