开环的根轨迹分析.doc

开环传函的根轨迹分析 一、题目 画出开环传递函数为G(s)=的控制系统的根轨迹和K=16是的BODE图。 二、引言 本课题主要是对开环传函的根轨迹进行研究，从而对根轨迹有更进一步的认识，同时对其伯德图进行必要的探究，从中得到理想的控制效果。 三、摘要 1、根轨迹：控制系统的某一参数由零变化到无穷大时，闭环系统的特征根（闭环极点）在[S]平面上形成的轨迹。 2、伯德图：又称对数频率特性图，它包括幅频特性和相频特性图，分别表示频率特性的幅值和相位与频率之间的关系。 四、相关理论 1、根轨迹是控制系统的某一参数由零变化到无穷大时，闭环系统的特征根（闭环极点）在[S]平面上形成的轨迹。 2、根轨迹在[s]平面上的分支数等于控制系统特征方程式的阶次，即等于闭环极点的个数，也等于开环极点的个数。 3、根轨迹是对称于实轴的曲线。 4、根轨迹起于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则有（n-m）条根轨迹终止于[s]平面无穷远处。 5、根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚根，将s=jw代入方程式并求解就可得到根轨迹与虚轴的交点ω及交点相对应的参数K的临界值Kc。 6、实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧开环实数极点、实数零点总数为奇数的线段。共轭复数开环极点、零点对确定实轴上的根轨迹无影响。 五、理论推导 对该系统而言，可以确定它是个1型系统。 令s(s+4)(s+8)(s2+2s+5)=0,那么可以解得系统有5个极点：P1=0，P2=-4,P3=-8,P4=-1+j2,P5=-1-j2。 令s+2=0，那么可得系统有一个零点：Z=-2。 从而可以得出：根轨迹的分支数等于5，它们的起点依次是（0，j0）,(-4,j0),(-8,j0),(-1,j2),(-1,-j2),终点都是无穷远处；而根轨迹的渐进线的条数为4条，因为有极点个数n=5,零点个数m=1个。这四条渐近线与实轴的交点坐标为： σ=0-4-8+（-1+j2）+（-1-j2）/(5-1)=-3.5; 渐近线与实轴正方向的夹角分别是： l=0：（2l+1）π/(n-m)= π/4， l=1：（2l+1）π/(n-m)= 3π/4， l=2：（2l+1）π/(n-m)= 5π/4或-3π/4， l=3：（2l+1）π/(n-m)= 7π/4或-π/4。 因此它在实轴上的根轨迹为：（-8，-4）和（-1，0）。 根轨迹与实轴的会合点或分离点的坐标为： d/ds[s(s+4)(s+8)(s2+2s+5)/(s+2)]=0 从而可以得出： S=-6.81-j0.21,（其余均不符合）。 六、程序设计及仿真 1、对此系统进行m文件的编写为： num=[1 2]; den=conv(conv([1 4],[1 4]),conv([1 8],[1 2 5])); rlocus(num,den) axis([-22 3 -15 15]) [kd,poles] = rlocfind(num,den) [numCL, denCL] = cloop((kd)*num, den) step(numCL,denCL) 2、仿真结果