机械振动第2章练习.doc

第二章 单自由度系统 习题 2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 解：?=g/ 运动微分方程（式2.5）：+?x=0 初始条件：x(0)=3,(0)=0 由式2.8有： A==3 ?=arctg=0 由式2.7有： 响应：x=3cos(t) 2.2 弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。 解：?=g/=9.8/0.2=49 运动微分方程（式2.5）：+?x=0 初始条件：x(0)=-0.2,(0)=0 由式2.8有： 振幅：A==0.2 ?=arctg=0 由式2.7有： 响应：x=0.2cos(7t) 周期：T=2?/?n 弹簧刚度：k=mg/=1?9.8/0.2=49(N/m) 最大弹簧力：FSmax=-kA=-49?0.2=9.8(N) 2.3 重物ml悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m2从高度为h处自由落到ml上而无弹跳，如图T—2.3所示，求其后的运动。 图 T—2.3 解：?=k/(m1+m2) 运动微分方程（式2.5）：+?x=0 初始条件：x(0)=- m2g/k m2gh=(m1+m2)2(0)? (0) (以下略) 2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图T—2.4所示，求系统的固有频率。 图 T—2.4 解：系统的势能：U=kr2θ2 系统的动能：Et=I2+mr22 由d(U+Et)=0得：（I+ mr2）+kr2θ=0 ?= 2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图T—2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。 图 T—2.5 解：系统的势能：U=k?(aθ)2+k?(aθ)2=ka2θ2 系统的动能：Et=I2 由d(U+Et)=0得：I+ka2θ=0 ?= T=2?/?n 2.6 求如图T—2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k2＝2k1，k3=k1。 图 T—2.6 解：设k1=k 则 =+=+?k12=k 系统的势能：U=k12x2+k3x2=kx2 系统的动能：Et=m2 由d(U+Et)=0得：m+kx=0 ?= T=2?/?n 2.7 如图T—2.7所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。 图 T—2.7 解：系统的势能：U=mg(R-r)(1-cosθ)=mg(R-r)θ2 {说明：mg(R-r)θ2为重心变化引起的势能； 由于重心变化引起的势能为：mg(R-r) (1-cosθ)； 由三角函数的的倍角公式：cosa=1-2sin2（a/2）， 且当a很小时，sina≈a ?cosθ=1-2sin2（θ/2）=1-2（θ/2）2=1-θ2/2 ? mg(R-r)(1-cosθ)=mg(R-r)θ2} 系统的动能：Et=m(R-r)22+I（）22 {说明： 圆柱质心点的速度:(R-r)=r?=} 由d(U+Et)=0得柱体的摆动方程： [m(R-r)2+ I（）2] + mg(R-r)θ=0 对于均质圆柱：I=mr2 m(R-r)2+ mg(R-r)θ=0 ?= 2g/[3(R-r)2] 2.8 横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离x(见图T—2.8)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。 图 T—2.8 解：建立如图所示坐标系，系统平衡时，由牛顿第二定律得： mx’’+?(Ax)g=0 有： ?= 初始条件为：x0=x，0=0 所以浮子的响应为： 2.9 求如图T—2.9所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m2。 图 T—2.9 解：设盘1转角为?1，令i=?1/?2，则 系统的动能：ET =I12+I22=I1i22+I22 =( i2 I1+ I2) 2 系统的势能：U=k1r12?12+k2r22?22=(i2k1r12+ k2r22)?22 由d(U+Et)=0得： ( i2 I1+ I2) +(i2k1r12+ k2r22) ?2=0 ?=(i2k1r12+ k2r22)/ ( i2 I1+ I2) T=2?/?n 2.10 如图T—2.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水