概率与过程（陆中胜）第一节 点估计.pptVIP

第七章 参数估计 7.1 点估计一、参数估计的概念 一、矩估计法 二、最大似然估计法 对数计算法则 §2 估计量的评选标准  一、无偏性 二、有效性 三、相合性 知识点示意图 本节要求 则称 为?的无偏估计量. (P136) 设 是参数?的一个估计量， 为参数?的所有可能取值集合，若有 定义1 无偏性只是要求 的平均值为 ? ， 不是说 的每次取值都为 ?. 例1 设总体 的k阶矩 ,存在, 是总体的样本, 求证：样本k阶矩 是总体k阶矩 的无偏估计. 证明：因为 与 同分布, 所以 所以,样本k阶矩是总体k阶矩 的无偏估计. 例2 设 是来自 的样本， 为未知参数, 则?的矩估计与最大似然估计分别为 试讨论它们的无偏性. 解 ： 所以, 是?的无偏估计. 的分布函数 的概率密度 所以, 不是?的无偏估计. 但是， 是?的无偏估计. 并且至少存在一个 使不等号成立, 则称估计量 比 有效. (P137) 设 和 都是参数?的 无偏估计，若对一切 , 有 定义2 无偏性只是要求估计量的均值等于被估参数?; 有效性衡量一个估计量与被估参数?的偏离程度, 采用估计量的方差. 　故 比 有效. 　 例3 设 是来自 的样本， 为未知参数, 比较 和 的有效性 解 ：由例2知 和 都是?的无偏估计 由于 且 时不等号成立, 记 ,试选择实数 ,使 为?的无偏估计, 并 使 的方差达到最小. 例4 设总体 的分布函数为 , 其中 为未知参数, 是总体的样本, 解 ：令 所以, 当 时, 为 ? 的无偏估计.又 做辅助函数 将前个等式相加, 解之得 所以,当 时, 此时 最小. EX:设 分别为取自总体X的容量为n1,n2的两个相互独立样本的样本均值，求证：对任意实数a0,b0,a+b=1，统计量 都是E（X）的无偏估计，并求a,b使所得统计量最有效 故对任意实数a0,b0,a+b=1,统计量 都是E（X）的无偏估计 * * * 1.点估计 2.估计量的评选标准 3.区间估计 定义: 设X1， … ， Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x; ?), ???。其中?为未知参数, ?为参数空间, 若统计量 可作为?的一个估计,则称其为?的一个估计量，记为 注：F(x;?)也可用分布律或密度函数代替. 若x1， … ， xn是样本的一个观测值。 由于 是实数域上的一个点，现用它来估计?， 故称这种估计为点估计。 估计量和估计值统称为估计 点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计法。 称为?的估计值 关键点：1.用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计，即 2.用样本k阶矩的函数作为总体k阶矩同一函数的估计， 即 例1：设X1， … ， Xn为取自总体B(m,p),的样本，其中m已知，0p1未知，求p的矩估计。 解: E(X)=mp, 为参数p的矩估计 例2、：设X