概率与过程（陆中胜）第一节 数学期望.pptVIP

第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差和相关系数 矩、协方差矩阵 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一般意义下变量x平均数的计算： x nk x1 x2 … n1 n2 … 如何计算变量x的平均数？ xk … nk … 4.1数学期望一.数学期望的定义 数学期望定义 解： 变量x的平均数为其取值总数/总次数： 即： 于是，离散随机变量的平均数类似的定义： 定义 1. 若X~P{X=xk}=pk , k=1,2,…n, 则称 定义 2. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…,且 ， 为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。 则称 为r.v.X的数学期望 离散型随机变量的期望 例1 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。 例 2 设离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7 定义 3 若X~f(x), -?x?, 为X的数学期望。 则称 连续型随机变量的期望 例2. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为 试求E(X). 解： 二.几个重要r.v.的期望 1.0-1分布的数学期望 E(X)=p 2. 二项分布B(n, p) E(X)=np 3.泊松分布 4. 均匀分布U(a, b) 5.指数分布 分部积分法 6. 正态分布N(?, ?2) 定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则g(X) 的期望E(g(X))为 推论: 若 (X, Y) ?P{X=xi ,Y=yj}= pij , i, j=1, 2, … , 则 g(X，Y)的期望 三.随机变量函数的期望 例1 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY) 解: 定理2 若X~f(x), -?x?, 则g(X)的期望 推论 若(X, Y) ~f (x, y), -?x?, -?y?, 则g(X, Y)的期望 连续型随机变量函数的期望 二维连续型随机变量函数的期望 则 若积分区域为 若积分区域为 则 若积分区域为 则 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4) 例1 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间 解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则 =10分25秒 例2 1. E(c)=c,c为常数; 2. E(cX)=cE(X), c为常数; 四.数学期望的性质 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y); 4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 若X~B(n,p),求E(X) 解:设 第i次试验中事件A发生 第i次试验中事件A不发生 则 例1 设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数.(此病不传染) 解:设Xj为第j组的化验次数， Xj pj 1 101 X为1000人的化验次数，则 例2 本节要求 内容 1、一维随机变量的期望； 2、一维随机变量函数的期望； 3、二维随机变量函数的期望； 4、期望的性质； 要求 1、会求一维随机变量的期望； 2、会求一维随机变量函数的期望； 3、会求二维随机变量函数的期望； 4、会利用期望的性质求随机变量函数的期望；