一、 贝努里概型与二项分布.pdf

一、 贝努里概型和 二项分布 例1 设生男孩的概率为p ,生女孩的概率为 q=1-p ，令X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数. 我们来求X 的概率分布. X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为p . 男 女 X=0 X =1 X =2 X =3 X =4 X 可取值0,1,2,3,4. X 的概率函数是： k k 4−k P{X k} C p (1−p ) , k 0,1,2,3,4 4 例2 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数 不难求得， X 的概率函数是： k 1 k 5 3−k { } ( ) ( P X k C3 ) , k 0,1,2,3 6 6 一般地，设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：A 或 ， 或者形象地把两个互 A 逆结果叫做“成功”和“失败”. 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩” 抽验产品：“是正品”，“是次品” L 再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重 复”是指这次试验中各次试验条件相同 )， 每次试验成功的概率都是p ，失败的概率 都是q=1-p . 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里 试验，简称贝努里试验或贝努里概型. 用X 表示n重贝努里试验中事件A （成功） 出现的次数，则 k k n−k P(X k) C p (1−p ) , k 0,1,L,n n 不难验证： （1）P (X k ) ≥0 n （2 ）∑P (X k ) 1 k 0 当n=1时， P(X=k)=p k(1-p)1-k,k=0,1 称r.vX 服从参数为n和p 的二项分布，记作 称X 服从0-1分布 X~B(n,p ) 例3 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取 的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X 为所取的3个中的次品数， 则 X ~ B (3, 0.05)，于是，所求概率为： 2 2 P(X